別におかしくないが
exp(z)=exp(x+iy)=exp(x)exp(iy)=exp(x)(cos(y)+i*sin(y))
ってだけでしょ
ドモアブルの定理やオイラーの公式で
三角関数の公式がいらなくなるのは感動ですよ。
複素数が回転を内在している理由として、一般にクリフォード代数がスピノルと関係してることの側面と見れると思うんだけど
それは割と世界の神秘という気がする
三角関数って言うと、三角形の辺の比や角度を計算する と思われがちだけど
実際は単位円上の点と 直交座標との対応関係を扱うのに優れてるのです。
(1) 0<h<2π のとき
(h/2) + Σ[n=1,∞] sin(nh)/n = π/2,
を示せ。
(2) ∫[0,∞] sin(x)/x dx = π/2,
を台形公式を使って求めたい。
刻み幅がh (0<h<2π) のときの誤差を求めよ。
(参考)
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社 (1983)
p.154
(1)
(h/2)i + Σ[n=1,∞] (1/n) e^{inh}
= (h/2)i + Σ[n=1,∞] (1/n) (e^{ih})^n
= (h/2)i - log(1 - e^{ih}) ← マクローリン
= - log(e^{-ih/2} - e^{ih/2})
= - log((-2i)sin(h/2))
= - log(-i) − log(2sin(h/2))
= (π/2)i - log(2sin(h/2)),
虚数部をとる。
右辺のhが消えるのがミソ。
p>0 とする。
∫[0,∞] e^{(-p+i)x} dx
= [ 1/(-p+i) e^{(-p+i)x} ](x=0,∞)
= 1/(p-i)
= (p+i)/(pp+1),
虚数部をとると
∫[0,∞] e^{-px} sin(x) dx = 1/(pp+1),
pで積分すると
∫[0,∞] (1 - e^{-px}) sin(x)/x dx = arctan(p),
p→∞ として
∫[0,∞] sin(x)/x dx = π/2,
高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第3章§35.［例3] p.115
第4章§48．[例4] p.168-169
〔問題〕
複素数 a, d が 0 < |d| << |a| を満たしている。
z_1 = a+d, z_2 = a+d~, z_3 = a-id, z_4 = a-id~
z_5 = a-d, z_6 = a-d~, z_7 = a+id, z_8 = a+id~
とおく。(i=√(-1), ~ は共役な複素数を表わす｡)
さて、8つの (z_k)^2 のなるべく近くを通る円を曳きたい。
つまり、円の中心を a^2 + b とすれば
|(z_k)^2 - a^2 - b|^2
の差を小さくしたい。 ( |d|^4 程度らしい…)
複素数b をどう取ればよいでしょうか？
[高校数学の質問スレPart409．477]
arg(z-a) に依らないから、8点に限らず全周で成り立つね。
|z^2 - a^2 - b|^2
= |2a(z-a) + (z-a)^2 - b|^2
= |2a(z-a)|^2 + 2(z-a)~(a|z-a|^2 -a~b) + 2(z-a)(a~|z-a|^2 -ab~) + |(z-a)^2 -b|^2
ここで b = (a/a~)|z-a|^2 とおけば
= |2a(z-a)|^2 + |(z-a)^2 - b|^2,
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