Salemの積分方程式の条件を満たす解の存在

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1Oruka2020/11/22(日) 08:22:18.32ID:FJ5c4o+N

貼ってあるリンクから移れば分かるかもしれませんが、"Salemの積分方程式に条件を満たす解があるか"というリーマン予想と同値な命題があるんですけど、

これ、δ=2/3, y=1/2についての条件を満たす有界な解になっていると思うんです…

僕も、これを代入して、wolflam alphaで計算しましたが…確かに解でした。(面倒くさいかもしれませんが、皆さんも、以下の不定積分から極限をとって、計算してみてください)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral%5Bcosh%28z%29+%2812+cosh%282+z%29+%2B+6+π+cot%5E%28-1%29%28e%5Ez%29+sinh%28z%29+-+48+sinh%5E2%28z%29+cosh%28z%29+coth%5E%28-1%29%28e%5Ez%29+-+3+π+-+4%29*z%5E%281%2F3%29*%28e%5E%28z%2F2%29%2B1%29%2F%28z%5E%281%2F3%29*%28e%5E%28z%2F2%29%2B1%29%29%5D&lang=ja

さらに下のリンク先にある解となる実数値関数φ(z)は、一応僕がフーリエ級数展開やメリン変換を使って、導き出したものです。

でしゃばってすみません…。
この時期で、相談できる人が皆無になってしまったもので…

詳しいことは、聞いてくださればお教えすることはできます。

よろしくお願いします。

https://www.dropbox.com/s/g1u6bivggbqrobh/RH.pdf?dl=0

2Oruka2020/11/22(日) 08:23:41.34ID:FJ5c4o+N

解となる関数φ(z)は、一番下のリンク先に書いてあります。

3Oruka2020/11/22(日) 08:25:09.49ID:FJ5c4o+N

書き忘れていましたが、zの定義域はz>0です。

4Oruka2020/11/22(日) 08:38:09.74ID:FJ5c4o+N

投稿した後に気が付きましたが、wolflam alphaのリンクが途中で切れてしまっていて機能しなくなっているので、無視していただいて結構です。

計算する場合は、下の文字列をwolflam alphaにコピペすれば、不定積分は計算できます。

integral[cosh(z) (12 cosh(2 z) + 6 π cot^(-1)(e^z) sinh(z) - 48 sinh^2(z) cosh(z) coth^(-1)(e^z) - 3 π - 4)*z^(1/3)*(e^(z/2)+1)/(z^(1/3)*(e^(z/2)+1))]

5１３２人目の素数さん2020/11/22(日) 15:20:04.16ID:uqfQ1ppJ

（１）式のδの符号が違うのでは

6１３２人目の素数さん2020/11/22(日) 15:31:19.35ID:FJ5c4o+N

>>5
コメントありがとうございます。
δについては、1/2<δ<1の範囲を動きます。
そして、「1/2<δ<1, y>0の範囲においては、積分方程式の条件を満たす解が存在しない」という命題が、リーマン予想と同値です。

δの符号は常に正なので、おそらく見間違いかと思います。

7１３２人目の素数さん2020/11/22(日) 15:35:22.63ID:FJ5c4o+N

>>5
もしかして、Wikipediaで"Salemの積分方程式"を調べられたのでしょうか？

でしたら、僕が提示している積分方程式は、Wikipediaで示されている積分方程式を置換積分して変形したものです。

その過程で、δの符号が変化しているので、Wikipediaに示されているSalemの積分方程式と、僕が示している積分方程式の解の存在性は、同値です。

8１３２人目の素数さん2020/11/23(月) 14:18:41.31ID:ckNYVESt

リーマン予想と同値なのは、Salemの積分方程式が任意のy>0について成り立つようなδ,φが存在する、ということではありませんか？

9１３２人目の素数さん2020/11/23(月) 18:37:29.44ID:gxFYEHIj

>>8
コメントありがとうございます。

確かに、そういった意味にも取られかねないですが、リーマン予想と同値なのは、

『任意の1/2<δ<1, y>0について、Salemの積分方程式を満たす有界関数φ(z)は存在しない』

という命題ですね。

10１３２人目の素数さん2020/11/23(月) 18:39:49.83ID:gxFYEHIj

>>8
『任意のy>0について、φが存在する』がリーマン予想と同値なのではなく、『任意のy>0について、φは存在しない』が同値命題です。

11１３２人目の素数さん2020/11/23(月) 19:08:23.97ID:ckNYVESt

>>9
>>10
そうではなく、『あるδ、φが存在して、Salemの方程式が任意のyについて成り立つ（つまり、yの関数の等式として成り立つ』がリーマン予想の否定と同値なのではないかということです。
Wikipediaやhttps://arxiv.org/pdf/2003.00581.pdfを見ると、そういうことのように思えます。

12１３２人目の素数さん2020/11/23(月) 19:33:44.20ID:ckNYVESt

それに、δとyを固定したときに方程式を満たすような有界なφが存在するのはほぼ自明だと思います。