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質問？
位相空間Xが、非空、コンパクト、ハウスドルフ、全不連結、第２可算、孤立点無し、の時、
前スレ落ちてしまったのでもう一度
>>５
正n角形は作図可能⇔n = 2^m * (相異なるFermat素数の積) (Gauss)
円分体Q(exp(2πi/n))が巡回拡大になるnの特徴づけってある？
>>10 巡回群 Z/nZ の乗法群 (Z/nZ)^× がふたたび巡回群となるための必要十分条件は、n が 1, 2, 4 または奇素数 p に対する p^k, 2p^k (k ≥ 1) の何れかである[9][10][11]。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4 だそうだ
ああ、
スレ立て逃げはこの中にいる
解析概論に対抗して解析詳論という本を書こうと思うんだが
http://2chb.net/r/math/1703207136/ P:=コンパクトかつハウスドルフかつ全不連結かつ第2可算かつ孤立点無し
位相空間Xに孤立点がない って言ったら、
1+sin(x)=2cos(x)の解で、0≦x<2πにあるものをすべて求めよ。
ここのカントールセットって[0,1]のとこだけ指してるのか
>>20 教えてもらったら礼を言うのが常識だろ教えて爺さん？
993 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2023/12/24(日) 20:47:23.91 ID:dmzO7ei4
IDコロコロするにはノートパソコンを持って近所をふらつき、フリーワイファイに繋げます
CW複体の境界写像の定義がわからん
有界線形作用素っておかしくね？線形写像って有界にならなくね？
Aut(L/K)の固定体がKにならない拡大L/Kってあるの？
>>8 以前高校数字スレに貼ったのですが誰も分からず流れてしまったので
代数閉包は同型を除いて一意だけど、より大きな体に埋め込んだら、同型だけど集合として異なるものは出てこないの？
\mathbb{C}\underset{R}\otimes\mathbb{C}\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}: 整域でない
カントール爺さんの三ナイ
>>37 でもここでもスレチだから
奇特な人じゃ無いと答え来ないと思うよ
(n-1,n,n+1).
L, L'がKの代数閉包で、ともにΩに含まれるとする。
>>006
>>48 >>52 結構長時間悩んでいたのですがやっとスッキリ出来ました
ありがとうございます
>>30 任意のA⊂Rに対して、0∈Aならμ(A) = 1、それ以外ならμ(A) = 0
1+sin(x)=2cos(x)の解で、0≦x<2πにあるものをすべて求めよ。
>>38 外国人から回答来たぞ
math.stackexchange.com/a/4833393
There are lots of examples. Any two algebraically closed fields of the same characteristic and the same uncountable cardinality are isomorphic (see here). Hence, for any uncountable algebraically closed field K there is an isomorphism between K and K(T)¯¯, and of course that contains K.
俺が多分
>>38 の趣旨を間違えて外人に質問したから
>>62 は答えになってないかも
代数閉体KとLが同型かつK⊂Lとなるかという質問をした
Lが代数的閉体で、L/Kが代数拡大じゃなければ、Lと同型だが集合として異なる代数的閉体L'はたくさんあるわけか
[0, 1]の関数f(x)を、0～1/nで∧を描いて、1/n以降は0
>>67 何がおかしいのか？
どうしておかしいと思うのか？
1+sin(x)=2cos(x)の解で、0≦x<2πにあるものをすべて求めよ。
↑1の分割についてですが、
最後のところで、
Φ = {φ_1, …, φ_n} とすれば十分であるのに、
Φ = {f・φ_1, …, f・φ_n} としているのでしょうか？
f が不要だと思います。
>>72 訂正します：
↑1の分割についてですが、
最後のところで、
Φ = {φ_1, …, φ_n} とすれば十分であるのに、なぜ
Φ = {f・φ_1, …, f・φ_n} としているのでしょうか？
f が不要だと思います。
自己顕示欲と承認欲求の違いとして、「自己顕示欲は能動的、承認欲求は受動的」と言われています。 つまり、自己顕示欲が強いタイプは、己の存在をアピールするため積極的に行動する傾向がある一方、承認欲求が強い人は受け身の姿勢で、ありのままの自分を認めてほしいと考えやすいということです
>>76 φ_i ∈ Φ = {φ_1, …, φ_n} とします。
ψ_i は D_i 上で正、 U_i に含まれるある閉集合 B_i の外部で 0 です。
B_i は U_i ∈ O に含まれる閉集合です。
φ_i(x) = ψ_i(x) / (ψ_1(x) + … + ψ_n(x)) は B_i の外部で 0 です。
なので、 φ_i に対して、(4)は満たされます。
>>9 どちらにせよnの素因数分解が必要になるので、大きな数では大変
あ、 B_i は Φ の元の定義域の外にありますね。
B_i の外部は Φ の元の定義域の外にありますね。
B_i の外部は φ_i の定義域の外にありますね。
確かに、 U で定義された C^∞ 関数 f で A では値 1 をとり、 U 内のある閉集合の外部で値 0 をとるような関数の存在は問題2-26(e)で出題しているので、この f を使って無理やり 0 にしてしまうというのが最も簡単に思いつく方法ですね。
確かに、 U で定義された C^∞ 関数で A では値 1 をとり、 U 内のある閉集合の外部で値 0 をとるようなものの存在は問題2-26(e)で出題しているので、この f を使って無理やり 0 にしてしまうというのが最も簡単に思いつく方法ですね。
正規、パラコンパクトHausdorff、１の分割
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/ ~furuta/partitionofunity.pdf
>>84 ありがとうございます。
後で読めれば読んでみます。
>>83 なんかおかしいですかね。
スピヴァックのステートメント、証明の問題点について書きます。
Φ の元の定義域は U です。
スピヴァックの証明から分かるように U は D_1 ∪ … ∪ D_n の部分集合です。
そして、 D_1 ∪ … ∪ D_n は U_1 ∪ … ∪ U_n の真部分集合です。
ですので、 A の開被覆 o = {U_1, …, U_n} の元の中には U に完全には含まれないものも存在します。
なんか f をかけても(4)が成り立つかどうかは簡単には言えないように思います。
A の開被覆 o = {U_1, …, U_n} の元の中には U に完全には含まれないものも存在するということが、定理の(4)のステートメントで問題になりませんか？
(4)で存在すると書かれている開集合 U は φ_i たちの定義域の U に含まれていなければだめですよね。
ψ_i の定義域は U_i ではなく R^n ですよね。
f の定義域も U とされていますが、 C^∞ のまま定義域を R^n に拡張できます。
f の定義域も U とされていますが、 C^∞ のまま定義域を R^n に拡張できます。
問題は U で定義された関数たち φ_i です。
もしも、 φ_i たちの定義域を U から R^n に C^∞ のまま拡張できれば、
そもそも φ_i たちの定義域が U という小さな開集合になってしまったのは、
定理のステートメントで A を含むある開集合で定義された関数たちなどとケチくさいことを言わずに、定義域を R^n としてしまえば良かったのではないかと思うんですが。
↑定理の証明のcase 1についてですが、
ψ_i は U_i の中のある部分で正で、その外では 0 であるような滑らかな関数というイメージですよね。
これらを足し合わせたときに 1 になるようにしたいから、 φ_i に換えたんですよね。
やっぱり、 R^n 全体で定義されていて U_i の中にだけ滑らかな山があって、それ以外は標高 0 でフラットというのが自然だと思います。
あ、 f・φ_i は U で C^∞ です。
日本数学会の会員名簿が邪魔なんですが
微分は積分で表せないのですか
>>102 別のデータと突号されたら、お前は犯罪の教唆だぞ
手元にシュレッダーが無いし業者に頼むしか無いのか
週刊誌とかといっしょに縛って
住所載せてる会員もいるから、廃棄の際の扱いは慎重になった方がいいかと。
写像f:X→Yについてx∈X、y∈Yとして
いちど論理式を日本語で書き直して、それに否定をつけたほうがすっきりわかるんじゃないかな
>俺、論理式で書けば紛れなく&簡潔に書けることを>>みたいに日本語(英語)で書くやつはマジで嫌い
>>113 書き方にルールがあるようでないようであるない
>>111 >今読んでる本ではf(A)={y∈Y|∃x[x∈A],y=f(x)}みたいに書いてるんですが
そうは書かれてないのに
誤解して書いてるね
画像であげてよ
論理式で書いても初心者には確信をもたらさないと思うよ
日本語で否定を取るより論理式で否定を取ったほうが明瞭だと思う
カンマが∧なのか分からないからじゃない？
カッコの位置がおかしい。
これも「出された質問に答えてはいけない」(ハルモス)質問の例だね
確かに言われてみれば∃x[x∈A]を∃x∈Aだと勝手に思ってたけど、改めて見るとよく分からない表記だ
>>123 >∃x[x∈A]を∃x∈Aだと勝手に思ってたけど
あーそういう意図の記号か
紛らわしすぎるなw
>>126 ではすきーむをろんりしきでかいてください
ろりしきがーはいいわけがおおいへたれということでいいですか
X がハウスドルフである ⇔ ∀x, y ∈ X (x ≠ y → ∃U, V ⊆ X (U と V は開集合 ∧ x ∈ U ∧ y ∈ V ∧ U ∩ V = ∅))
ばかじゃねーの、しょうめいがかんたんになるわけでもないのに
AとBが正規行列でAB=BAの時，ABが正規行列であることを示せ。
簡単のため２ｘ２のとき
正規行列はユニタリ行列で対角化可能、可換な正規行列は同時対角化可能、よって可換正規行列の積は対角化可能。従って正規。
∃x∈A P(x)とは∃x[x∈A∧P(x)]の略記。
公務員試験の答案として完璧なのは138
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>>141 何処で使ってるんだ？
>簡単のため２ｘ２のとき
まあ、チャットGPTには書けない解答であることは
初年度の学生にとっては
(1)AとBが同じユニタリ行列で多角化可能，(2)ユニタリ行列とその随伴行列の積は単位行列，(3)対角行列の積は可換
慶應義塾大学通信（法・経済・文）
https://www.tsushin.keio.ac.jp/ ・入試倍率は1.5倍。受験者の6割以上合格
・受験はネット出願で書類選考のみ（東京に行く必要無し）
・学費は年間僅か20万円（教材費レポート添削費用等込）
・新入生の45％(５割以上)が18歳〜29歳と若年層が増加
・卒業率は47パーセント。611人入学して288人卒業
春秋の年2回入学募集
インターネット出願対応で手軽に出願可(2021年8月11日〜)
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・通学生と違って、ほとんど通学しなくて可
・司法試験予備・公認会計士・税理士試験目指す学生多い
・卒業式・卒業証書・卒アルも通学生と一緒。三田会入れる
・3割の学生が関東以外の地域の学生。地方在住で学べる
https://imgur.com/a/HJIQ0lN ↑昨日、旧彌永家別荘を見に行きました。
別荘の所有者名が「小平・橋本」となっていますが、小平邦彦の「小平」ですか？
確か、小平邦彦さんは彌永昌吉さんの妹と結婚したんですよね。
ちなみに、別荘の番号の「2304」は平方数です。（48^2 = 2304）
>>158 それ理解してるなら最初から質問ないわけだけど
2304 = 2^8 * 3^2
>>158 （定義）正規行列
（定理）正方行列が対角化可能と行列が正規行列であることは同値
（定理）可換な行列は上三角行列に同時対角化可能
（系）可換な正規行列は同時対角化可能（正規行列と同値）
S=1+2+3+4+…を求める。
S=1-1+1-…を求める。
>>171 実数の拡張でこの等式が|x|>1でも成り立てばいいんじゃないの？
>>174 ネタとして発散がないので解析接続に劣る
解析概論って実数の公理の所がおかしいと言うのは本当ですか？
「実数の同値な公理を述べるときに、アルキメデスの公理と併せて述べなくてはならないところを書き忘れているところがあること」
どうでも良くはないだろ
>>181 自分で補えば？
あるいは満たさないもので理論構築すれば？
回答する側が質問者に忖度するのが正しいというのは如何なものか
素朴な疑問、命題の文章で
杉浦光夫著『解析入門1』
丁寧と言われる杉浦光夫さんでさえこのような状態です。
定義していないものを使ってはいけない。
NXNの領域でF(k)-F(p,q)を[p,k]X[q,k]で上から評価してk->∞としてるだけだろ
>>190 この人のように正しく理解できない人がいることを前提に
なるべく詳しく書くスタンスもアリとは思うけれど
自分は詳しく書きすぎない方がいいと思っちょる
まあ程度問題ではあるけどね
>>191 >数学者って無神経な人が多いんですかね。
ここでいう無神経は理解できない他者に関してという意味なら
だと思うね
>>194 補足
F(k)-F(p,q)をいきなりNXN-F(p,q)で評価してもOK
小平邦彦著『解析入門1』
小平邦彦著『解析入門1』
小平邦彦著『解析入門1』の第2章の三角関数を定義する前の考察のところで、
単に σ_n - i * θ/n → 0 (n → ∞)が成り立つはずだというのなら誰でも同意すると思います。
あ、分かりました。
ですので、
p.98の「いま十分大きな自然数 n に対して微小な回転 R_{e(θ/n)}の回転量 θ/n を‘円弧 1 e(θ/n) の長さ‘で計ることにすれば、‘円弧の長さ‘は未だ定義されていないが、 σ_n はほぼ i*θ/n に等しい、すなわち」
関数 θ → e(θ) は既に定まっているものとして議論していますよね。
なんか数学に徹底して向いていない人がいつまでもいつまでも微分積分のあたりをうろうろしているね。
小平さんはp.97で「さて、このような関数 e(θ) が存在したとして、 e(θ) がどんな形の関数になると想像されるか考えて見よう。」
小平さんが想定している関数 e は θ → cos θ + i * sin θ ですが、
数学に向いてない人でも読める本を誰か書いてあげてください
馬鹿アスぺ一号は和書、洋書で本棚1つずつ持ってるんやで、しかも全部微積分と線型代数（）
e はp.97に挙げた条件だけでは一意的に決まらない。
dy/dx = x + y
小平さんは「「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る」などと書いています。
「まえがき」が1990年12月に書かれています。
なぜ、そう思うかと言うと、その他の部分の完成度は他の著者らと比べて高いからです。
>>219 1階線形の公式とかu=y+xと変数変換とか色々解き方ある
p.99の e(θ) := lim (1 + i*θ/n)^n と定義をした後は普通の数学の話なので、話は簡単です。
近所の図書館で検索してみたところ、岩波講座基礎数学の解析入門1がありました。
e を θ に、複素平面上の点 1 から中心 0 半径 1 の円周上を反時計回りに距離 θ だけ進んだ点を対応させる関数とする。
>>226 俺が勧めた関数解析（藤田、伊藤、黒田）読んでるか？
これだけ数学の本漁ってexp(z)のEulerの定義がわからないカス
思い込みって怖いですね。
小平邦彦さんは、
実際、日常生活では「角」は「度」で測られているわけです。
>>230 小平邦彦さんは、
「回転の量がその角とよばれる実数で表わされ、任意の実数 θ に対応して角 θ の回転 R_{e(θ)}: z → z' = e(θ) * z が定まっているためには、…」
と書いています。
上の文の「角 θ」は「radian」で測られると思い込んでいたんですね。
別に「度」でも何でも良いにもかかわらずです。
習慣的に「radian」で測られるのは、数学的に自然であるからであって、別に必然性は何もありません。
誰もこのことを指摘する人がいないのは驚くべきことですね。
>>232 角についてのその指摘はあながち的外れでもなくて、Bourbaki 数学原論では、『角の定義』の問題と『角の測り方（角の単位）』の問題は、別個に切り分けて扱っています。
角の概念はもっぱら代数的に定義され、その段階で、sin と cos が定義されます。
角の測り方の問題には、数直線上の自然な位相を介在させています。
小平先生の本は確認していませんが、角や三角関数について、あの小平先生の本でも満足いかないならば、Bourbaki をお読みになるといいです。
人格が崩壊してる
三角関数を微分するときに疑問を持たなかったのか？馬鹿アスぺ
>>233 お前が10年前に読んでいた解析入門（松坂）には書いてなかったのか？
>>235 ありがとうございました。
↑去年、ブルバキの英訳本の一部は買いました。
ブルバキの集合論は一般的な評判が悪い上に、一番最初のロジックのところが既に分かりにくくて、読むのを断念しました。
一般位相は評判が非常に良いということなので読みたいのですが、読むのなら集合論を読んでからと考えています。
>>240 結局挫折してまた微積の本に戻ってきて死ぬまで微積か
>>233 お前が読んだ微積分の本で角度について定義してあるのはどれだ？
>>242 角度とは何かということを定義している本を読んだことはありません。
佐武一郎著『現代数学の源流上』
>>243 じゃ、全部だめだと報告しなきゃだめだろ
こう書けばいいか
度数法でx°は弧度法で(π/180)xラジアン、sin(x°)の微分は
ちなみに、解析入門Ⅰ（杉浦）にはⅢ章§3、p.185、に角の大きさは弧度法、単位はラジアン、と書いてある。
単位球面で立体角を定義したらその単位は何になるの？
>>254 ちょっと Google 先生に聞いてみたら、立体角の単位はステラジアンというそうだ。
杉ちゃんの解析入門を愛読してるけど
cos(α/2)=0となるαが円周率πの定義である。これが杉ちゃん流。
>>256 cos²z+sin²z=1はzについて微分したらしまいでしょ？
幾何学的な角は2πの整数倍だけずれても同じ角である
特に0≤x≤πでsin写像とcos写像を考える。全射や単射など。
>>260 >ビブンでせよ
自分に掛けてるんじゃないの？
>>256 >整級数表示では難しい
(cos^2z+sin^2z)'=2cosz(-sinz)+2sinzcosz=0
cos^2z+sin^2z=cos^20+sin^20=1
その辺は鶏が先か卵が先かだろ、指数関数exp(x)のテーラー展開があるんだから
馬鹿アスぺ一号（旧姓松坂君）は馬鹿であることにガッテンしていただけでしょうか？
図書館から岩波講座基礎数学の解析入門1を借りてきました。
『解析入門1』を持っている人は第2章の三角関数の節を読んでください。
Michael Spivakさんの『Calculus Fourth Edition』では、以下のように三角関数を定義しています。
単位円の面積を π と定義したとき、単位円の円周の長さが 2 * π であることって簡単に示せますか？
>>270 証明ではなくて成り立ちそうだと納得できるような説明はありますか？
単位円の面積を π と定義したとき、単位円の円周の長さが 2 * π であることが直感的に納得できさえしたら、あとは上のSpivakさんの定義から三角関数の色々な性質が導けます。
小学6年生のときに担任の女性の先生が授業参観のときに張り切って？、円の面積がなぜ π * r^2 であるかを説明していたのを思い出しました。
>>274 この説明で納得する人っているんですかね？
長方形に近いかもしれないけれど、結局長方形ではないわけです。
>>274 の説明に納得するのは結局、既に微分積分を知っている人だけだと思います。
>>268 お前以前も旧版の誤植を偉そうにかいてたよな、新版買えよ、屑
>>268 >何の断りもなく角の大きさをradianで測ることにしています。
普通は断るかもしれないけど
まあ常識だから省略したんだろうかな
>>275 つまり微分積分の考え方の根幹は直感的にわかりやすいということを意味しているんじゃないかな
>>278 いや、常識だからとかそういうことではないと思います。
小平邦彦さんは、
「”θ が回転 R_{e(θ)} の量を表わしている”というならば、二つの実数 θ, φ の和 θ + φ に対応する回転 R_{e(θ + φ)} は R_{e(θ)} と R_{e(φ)} の合成： R_{e(θ)} ・ R_{e(φ)} でなければならない、」
とかそういうレベルの考察をしています。
>>278 小平さんの一歩一歩進んでいくような考察を読んで見れば分かると思います。
>>280 思いますwww
お前の考えを押し付けるなよ
>>269 馬鹿、証明すんだよ
>誰もが推測できます。
>>269 円の面積は極座標を使えば簡単、極座標は三関数使いまくり、面積を積分で書いても三角関数で置換すれば同じこと
循環論法だ、バカ
>>280 R_{e(θ)}が何か知りませんが
角θの回転を表す線型写像なら
角の単位によらず当然成り立つべきことですよ
>>287 そうです。
そういう当然成り立つべきことを色々と挙げていきます。
ですが、角の単位については最後まで触れられません。
そして、突然、
「「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る」
などと言い出します。
e(θ/n) は正の実軸となす角が θ/n であるような絶対値が 1 の複素数を結局のところ表わしているのですが、角の単位が定まっていないため、この複素数も複素平面上でどこに位置するのが不明なままです。
単位円周上にあることしか分かりません。
訂正します。
>>287 そうです。
そういう当然成り立つべきことを色々と挙げていきます。
ですが、角の単位については最後まで触れられません。
そして、突然、
「「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る」
などと言い出します。
e(θ/n) は正の実軸となす角が θ/n であるような絶対値が 1 の複素数を結局のところ表わしているのですが、角の単位が定まっていないため、この複素数も複素平面上でどこに位置するのか不明なままです。
単位円周上にあることしか分かりません。
小平さんは、↓のように考察をすすめますが、
小平邦彦さんは、「解析入門」を60代前半に書いたんですよね。
とにかく、小平邦彦さんがおかしなことを書いているのは間違いないと確信しています。
小平邦彦さんは、p.98に
>>294 >問題なのは、角の大きさをどうやって測るかを定めていないことです
↓
>「「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る」
>>290 突然言い出してはいない。
角の単位は定まっていなくても良い。角は回転の量を表す実数、という角の概念さえあれば良い。
問題なし。
>>291 角θ→回転の量R(θ)→円弧ABの長さ
ここでOB=R(θ)(OA)。
A, Bは単位円周上の点。
A(1)、B(e^θ)
角θをどんな単位ではかっても問題なし。
>>292 小学校の話で言えば、分度器で角度をはかるのではなく定規で弧ABの長さをはかる。実際にはどちらも近似値にしかならない。
角の単位を決めてなくて後から決めても問題なし。
z∈C に対して exp(z)：＝Σ[k＝0～∞] z^k/k！
>>289 不明ということはない。角を決めるとそれに応じて回転の量が決まる。原点を中心にその角度だけ点A(1)を回転した点Bの位置が決まる。従って点Bの位置は不明ではない。
問題なし。
>>281 角は回転の量を表すという所が分かってないのか。つまり実際に回転させていないのかまたは回転という考え方が理解できていないのか。
>>301 「
「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る
」
「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」は点 e(θ/n) の位置によって決まります。
例えば、角 θ/n の大きさを「度」で測るならば、点 e(θ/n) は、三角関数を使って表すと、 e(θ/n) = cos((π/180) * (θ/n)) + i * sin((π/180) * (θ/n)) になります。
この場合、実数 θ/n によって表わされる回転量は (π/180) * (θ/n) になります。
例えば、角 θ/n の大きさを「度」で測るならば、点 e(θ/n) は、三角関数を使って表すと、 e(θ/n) = cos(θ/n) + i * sin(θ/n) になります。
この場合、実数 θ/n によって表わされる回転量は θ/n になります。
訂正します：
>>301 「
「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」で回転量 θ/n を計る
」
「1 と e(θ/n) を結ぶ円弧の長さ」は点 e(θ/n) の位置によって決まります。
例えば、角 θ/n の大きさを「度」で測るならば、点 e(θ/n) は、三角関数を使って表すと、 e(θ/n) = cos((π/180) * (θ/n)) + i * sin((π/180) * (θ/n)) になります。
この場合、実数 θ/n によって表わされる回転量は (π/180) * (θ/n) になります。
例えば、角 θ/n の大きさを「radian」で測るならば、点 e(θ/n) は、三角関数を使って表すと、 e(θ/n) = cos(θ/n) + i * sin(θ/n) になります。
この場合、実数 θ/n によって表わされる回転量は θ/n になります。
「
「ID:KPFME3YX」のような人がいることを見ると、この話は混乱しやすい話みたいですね。
小平邦彦さんが言っていることをまとめると、
平面の回転は回転行列を掛けけること、複素平面の回転はexp（iθ)を掛けること、この二つは同じことだよ、馬鹿アスペ
馬鹿アスぺに循環論法を理解するのは無理か、理解できれば10年間も微積分に拘っていないわなｗｗｗ
>>299 成り立つことがわかっているから計算したらこうなる、というやつね。
センスのない人は数学止めた方がいいよ。
>>288 >ですが、角の単位については最後まで触れられません。
つまり常識として省略してるのでしょう
あるいはe(θ)というものの定義から必然的に出てくるのかも？
>>293 角の大きさを数値で表すためには必要でしょう
>>254 >立体角で自然に定義されるものって何かあるの？
立体角は領域の面積でそれだと形が不定だけど
平面角が弦と弧を定めて三角比が定義できるように
球面を平面で切った切り口の円の面積と切り取られた球面の面積の比だとか
原点からその平面までの距離だとかの定める関数は自然と考えられそう
けれど新しいものは出てこなさそう
>>309 ＞成り立つことがわかっているから計算したらこうなる、というやつね。
何が言いたいのか知らんけど、
>>299 では
exp(z)：＝Σ[k＝0～∞] z^k/k！
cos(z)：＝(exp(iz)＋exp(－iz))/2
sin(z)：＝(exp(iz)－exp(－iz))/(2i)
と定義してるんだよ。この定義から出発すれば、微分しなくても
cos^2(z)＋sin^2(z)＝1 が直接的に計算できるでしょ、っていう話。
ちなみに、
>>294 >「‘円弧の長さ‘は未だ定義されていないが」と書いていますが、
ならそれを角の値として定義しているのでしょう
>円弧の長さは誰でも直感的には分かるものなので、これは全く問題ありません。
問題ないということですね
微分によって cos^2(z)＋sin^2(z)＝1 を証明する方式だと、
・ sin'＝cos
・ cos'＝－sin
・ sin^2(0)＝0
・ cos^2(1)＝1
という4つの性質が予め分かっていなければならない(
>>263 )。
>>313 または
>>314 によってcos, sinを定義した場合、
これらの性質は簡単に証明できるので、
別にそれでもお手軽な証明にはなる。
ただし、同じ定義のもとで
>>299 のように計算すれば、
微分しなくても証明できる。
この2つの証明は、どちらが優れているという話ではなく、ただ単に
「微分してもしなくても証明はできる」という些細な違いがあるだけ。
もしかしてアレか、ID:bYvXftPn は微分する証明しか思いつかなくて、
>>299 のような直接計算は ID:bYvXftPn にとって想定外のやり方であって、
「天下り的で邪道な証明」「不自然で何の参考にもならない」
「こういう証明は数学的センスがない」
とか思ってるのか。だとしたら相当アホだぞ。
ID:bYvXftPn は
>>299 の証明に問題はない、一から十まで厳密
数学的に正しい
>>303 度ではかった場合でも角と円弧は比例するので円弧で角をはかれる。どんな単位でも、同様。
何も問題なし
>>315 >ならそれを角の値として定義しているのでしょう
小平さんは、そんなことはどこにも書いていません。
>>320 問題点を全く理解していないようですね。
これだけ問題点を説明しても「ID:KPFME3YX」のような人がいるところを見ると、混乱しやすいのかもしれませんね。
>>303 例えば度ではかると90度、radではかるとπ/2になるというだけのこと。
何も問題なし。
馬鹿スぺ一号は見てきたような幾何学的証明が厳密化されと思い込んでるんだろう
>>323 おかしい所は無いから誰も指摘していない、だけ。
>>323 混乱ってなんだろう。誰が混乱してるのだろう。
>>323 半径1の円の円周の長さは2π
円の中心角は2π(rad)
円の中心角は360(度)
解析においては弧度法が便利なので弧度法を採用する。
何も問題なし。混乱なし。
>>321 常識的なので省略してるのかもしれませんね
>>321 >小平さんは、そんなことはどこにも書いていません。
これでは？
＞回転量 θ/n を‘円弧 1 e(θ/n) の長さ‘で計ることにすれば
ここわざわざθ/nにしてるのは
>>333 このスレ全員(アスペ以外)こう思っている。
小平邦彦著『解析入門』を読む機会があったら、三角関数のところを注意深く見てみてください。
杉浦光夫さんも『解析入門1』で最大級のミスを犯していますよね。
>>336 間違ったことばっかり書き込んでるけど真意は？
『解析概論』にも積分の変数変換のところに誤りがありましたね。
>>336 >>339 この辺は「何とか言い返してやろう」という意地汚さが見えるね
最後はいつもこうなのかな？
>>337 それはお前がわざわざ旧版を読んでるからだと指摘しただろ、馬鹿スぺ一号
そもそも馬鹿スぺ一号は実数全体Rのこと分かっていないだろ
>>343 たとえばcosθ+isinθのθが幾何的に何意味してるかでなくて？
θがラジアンでないと微分が汚いわけだし
>>342 今、確認してみたら、直っていました。
古い本では定理の仮定が(1) - (4)まで4つあって、(4)が f^{-1} が連続であるというものでした。
そして、証明でなぜか仮定していた(4)を証明しようとしていました。
そして、その証明に不備がありました。
それが定理の仮定(4)を消して、それをちゃんと証明するように修正していました。
情報ありがとうございました。
あ、なんかおかしいですね。
今、古い本を見ていますが、
もしかして杉浦光夫さんの『解析入門1』の定理6.10は少なくとも2回は修正しているということでしょうか？
もしかしたら、絶版の何か貴重な本と抱き合わせ販売でついてきた古い『解析入門1』に誤った証明が書かれていたのかもしれません。
記憶では、非常に大雑把な議論で f^{-1} が y_0 で連続であると結論づけていたと思います。
最新版の『解析入門1』と『解析入門2』を今度買おうと思います。
>>345 それって解析だけの世界で厳密さを求めて行うことは無理だと思うし、解析の教科書のスコープ外ではなかろうか
>>353 0745１３２人目の素数さん
2018/07/04(水) 20:54:55.57ID:1w66loLI
杉浦光夫著『解析入門I』での微分可能の定義は以下です：
lim_{h → 0, h ≠ 0} [f(t + h) - f(t)] / h = c
h ≠ 0 と書いてありますが、これは余計ですよね。
h の関数 [f(t + h) - f(t)] / h の定義域に当然 h = 0 は含まれていないからです。
杉浦光夫さんの『解析入門I』ですが、完成度の高い本かと思っていましたが、
少し読んでみると全然そうではないですね。穴だらけです。
>>357 じゃあどうやって解析の教科書で厳密に幾何学的な角とは何かの議論をするつもりなんだよ
解析の教科書では円描いてなんか感覚的には角っぽいものに角度をつけられたなって理解でいいやん。角とは何かみたいなこれ以上厳密さを求める必要なんてないやろ
解析の教科書に角全体の集合とは、直線のペア全体を合同という同値関係で割ったものであるとか書いてあったりしたらめんどくさいだけやろ
単位円周上に2点A、Bをとる
平面上の2直線または2つのベクトルのなす角をこの流儀で定義することは容易。
>>364 君が特別な実数のことを角というと定義するのは勝手だが、私の直観では角は全く実数とは異なる概念なのだがどうすればいい？
そもそも実数Rが体、全順序、完備であるように構成されてることが分かってないんだろう。
>>366 どうするもこうするも
今のまま、即ちまともな数学を身につけることを諦める
でいいんじゃないか。そのままでいい。
何も問題なし
ラノベだと、多様体は局所ユークリッド空間、ユークリッド空間は数ベクトル空間
>>369 普通に考えて解析の入門書で幾何的な概念に深入りする必要ないと思うのだが、それがまともじゃないといいたいの？
君が言ってる回転とか左回りとか未定義語が増えてるだけで、それでよしとするようなのを君はまともな数学だと言うのかい？
>>372 >普通に考えて解析の入門書で幾何的な概念に深入りする必要ないと思うのだが
君がそう思うってだけだよ
平面はただの2次元ベクトル空間ではなく
>>372 まともな大学でまともな教官から教わるのがまともな数学。
そのようなものから逸脱して「数学ではないもの」に入って行ってしまったんだな。
右回り、左回りの定義なんか簡単だから。空間の向き付けを復習しろ。
>>375 だから、解析の入門書に空間の向き付けなんか書いてたらキリがないだろ
数学でないものがどうとか何言ってんだお前は
>>372 角も内積もわからないのか？
ベクトルは分かるか？
解析と平行して幾何も勉強しとけよ。
>>376 解析の教科書に書けとは言ってないぞ。
書かなくても直感的に分かるし厳密化も出来る、と俺は言っている。
>>378 うむ
自然なものを厳密に書くまでする必要はないが
幾何的な把握は自然だからどんどん使われている
少なくともラジアンの定義は書くべきよな
>>366 これ。
これがまともな数学から逸脱している態度。まともじゃない。
>>377 だから分かる分からないの話をしてるんじゃなくて、最初から解析の教科書に何を書くべきかの話をしてるんだよ
なんでそれがまともな数学じゃないとか言い出すんだよ
なにかの病気なら病院行けよ
>>381 これはお前の角の定義のほうが明らかにおかしいだろ
角が実数なわけないじゃん
>>383 角って聞いて、実数だなって思うやつがどこにいるんだよ
>>384 度数は小学校レベル。実数。
radは高校レベル。実数。
解析入門を読む前段階で角=実数というのはまともな人間にとって常識。
馬鹿スぺ一号はスピバックの見てきたような証明が好きなだけ、中退おっさんが望む答えはないｗｗｗ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6 角：angle
角度：measure of angle
「角度は実数であるが、角そのものは実数ではない」
とする流儀の方が一般的であろう。
では、角そのものの定義とは何か？
https://www.nichibun-g.co.jp/data/case-study/cs_sansu/cs_sansu013/ ＞角とは、1つの点から伸びた2つの異なる半直線によってできる
＞図形のことであり、そこにできる広がり具合のことを角度という。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6 ＞1つの定まった値の角度を伴う角とは、平面 α 上の 1 点 O と
＞それから出る2つの半直線とそれらにより平面 α が分割されて生じる
＞2つの領域の一方 α1 からなる図形と定義できる。
＞ただし後述のように、この定義は数学における主要な定義とは微妙に異なる。
＞中略
＞ダフィット・ヒルベルトがその著書の『幾何学基礎論』において示した
＞公理系（英語版）[5]では、「端点を共有する 2つの半直線の組」（引用文献のままの表現ではない）
＞として角を定義しており、日本でもこの主旨の定義を採用している
＞数学辞典[9][6]や国語辞典[11][7][14]が多く、最も受け入れられた数学的定義と見なせる。
>>388 お前の実数には頂点があるの？？？
病院行ったほうがいいぞ
単に角という場合、多くは平面上の図形に対して定義された平面角（へいめんかく、英: plane angle）を指し、さらに狭義にはある点から伸びる2つの半直線（はんちょくせん、英: ray）によりできる図形を指す。平面角の角度は、同じ端点を持つ2つの半直線の間の隔たりを表す量といえる。2つの半直線が共有する端点は角の頂点（かくのちょうてん、英: vertex of angle）と呼ばれ、頂点を挟む半直線は角の辺（かくのへん、英: side of angle）と呼ばれる[5][6][7]。
>>390 こういうのを「数学ではない」と言うんだよ。
>>392 線型代数入門(東大出版会)の付録にあるユークリッド幾何学の公理はお手軽でよい。見とけよ。
角と角度は同じものである。
・ measure of angle が角度なのであって、角そのものは「angle」である。
というコンテキストで、解析の教科書で角がどーのまで突っ込む必要ないだろって主張なのだが、なんで通じないんだ
>>394 ユークリッド原論では平面図形と面積を区別してないから、四角形も実数だな
>>397 ちなみにユークリッド空間もユークリッドの原論とは関係ない。
・ 四角形に対する標準的な measure は2次元的な量であり、それは面積と呼ばれる。
>>400 区別しないことで何かいいことがあるの？
実数には頂点はないよ？
平面において
「四角形」という概念には「4つの頂点と、それらで囲まれる領域」という図形的な情報が
>>402 角に頂点はあっても無くても良い。よって頂点は本質的ではなく拘る必要は無い。
角度という1つの実数から、元の角の情報
四角形は4つの辺(実数)と4つの角(実数)で完全に決定される。
>>407 それはユークリッド幾何学だから合同なものを区別してない特殊な状況だからだろ
＞四角形で言えば、4つの頂点のうち3つの頂点の位置をカンニングした状態で「面積」が
数学ではない何か、に向かう情熱どうにかならないか
とにかく区別しない。あれもこれも無意味。
図形を復元するために角と角度を区別するとか、数学ではない。
>>410 「角度」の情報から「角」の情報が復元できないのであれば、
・ 1つの「角度」に対して、それに対応する「角」が一意的には決まらない
ということなのだから、両者は同一視できないことになる。
「そこは同値類でも取っておけ」と言うのであれば、
四角形だって、面積が同じ四角形は全部同一視すればよい。この場合、
・ 1つの面積に対して、それに対応する四角形は同値類の意味において一意的
なのだから、四角形と面積は同一視できることになる。
だが、そんな同一視をやりたがる人間はいないだろう。
>>413 角度が同じになる「角」は全て同一視することにすれば、
・1つの角度に対して、それに対応する角は同値類の意味において一意的
なので、角と角度は同一視できる。
全く同様に、面積が同じになる四角形は全て同一視することにすれば、
・ 1つの面積に対して、それに対応する四角形は同値類の意味において一意的
なので、四角形と面積は同一視できる。でも、そんな流儀でいいのか？
>>416 面積の大きさ(収束と発散)による図形の分類自体には大きな意味がある。積分論。
流儀と言えば流儀だな。
面積自体は極めて重要。
>>416 実際、リーマン積分とルベーグ積分では測れる面積(=図形)の集合の大きさは異なる。
ま
>>420 俺のこと？
実際イコールで書くでしょ
ABを線分そのものとすることもその長さとすることもあるわけ
機に応じて読み手が区別してればい
>>416 抽象化していくと、議論の方向によっては「面積=図形」の同一視はあり得る。って言うか実際にある。まさに解析だよな。
これもユークリッド空間でOKなので特殊な問題とは言えないよな。
>>422 ＞抽象化していくと、議論の方向によっては「面積=図形」の同一視はあり得る。
君自身が「議論の方向によっては」と断りを入れているように、
一般的には「面積=図形」という同一視はイレギュラーなのであって、
この同一視を正当化できるような方向性は少ないわけよ。
じゃあ、「角＝角度」という同一視はどんな話題のときに正当化されるの？
この同一視だけは、無条件でいつでも正当化されるの？そんなことある？
>>421 いや君じゃなくて
>>417 のつもりだった
>>423 お前が面積で揚げ足取りをしようとしただけで、角=角度は何の問題も無い。
>>426 「角＝角度」はどんな話題でも何の問題もない同一視なのであれば、
「面積＝四角形」もまた、どんな話題でも何の問題もない同一視だよな。
>>427 俺は面積に対してそのようなことを言っていないが、俺のどの発言をどのように読めばそのような結論が出てくるのか言ってくれ。
>>427 もうこんなの相手にしてもキリないよ
真剣に数学を楽しもうって感じじゃないもん
>>427 って言うかコイツ、何らかの意味で負けを認めてバグってるのか？
>>425 ＞全然イレギュラーではない。
イレギュラーだよね。だって君は
・「議論の方向性によっては、そういう同一視もあり得る。というか実際にある」
こう書いてるんだから。基本的にはイレギュラーだけど、議論の方向性によっては
ワンチャン意味が出てくる、っていうニュアンスが滲み出てるじゃん。
それとも、本気で「全然イレギュラーではない」と思っているなら、
じゃあどんな話題であっても、「面積＝四角形」という同一視は
普通に意味のある行為であって、そういう流儀をいつでも使っていいわけだ。
君はそういう立場なわけだ。
>>428 脊髄反射じゃなくてちゃんと読んでからレスしてあげて
>>431 イレギュラーじゃなくて積分論という確立した分野がある。
>>428 結局、「面積＝四角形」に対する君の立場は一体どうなってるんだよ。
・ その同一視が意味を持つ方向性は存在するが、
そんな同一視をしても意味がない方向性も存在する
と、そういう立場なのか？
>>436 つまり、「面積＝四角形」という同一視は
・ 使える場面もあるし、使えない場面もある
ってことだよな。それなのに、「角＝角度」という同一視については、
・ 使う場面を選ばない。どんな話題で使っても何の問題もない
と、君はそのように言っている。なぜ？両者の違いはどこにある？
角も四角形も図形的な概念で、いくつかの頂点と
いくつかの直線の情報を内包している。
それを measure の値で同一視する場合、
少なくとも「面積＝四角形」という同一視の場合なら、
使う場面を選ぶのに、なぜか「角＝角度」という同一視だと、
いつでも使ってよくて何の問題もないと。なぜ？
なんで積分の話になるのかさっぱりわからん
>>436 「面積＝四角形」という同一視を "使ってはいけない場面" は
どういう場面かというと、
・ 四角形を構成する4頂点と4辺の位置情報が、
その同一視によって潰れては困る場面
だろう？そういう場面では、この同一視は使っちゃダメだろ？
全く同様に、「角＝角度」という同一視でも、
・ 角を構成する1つの頂点と2つの半直線の位置情報が、
その同一視によって潰れては困る場面
においては、この同一視は "使ってはいけない" だろ？
そして、そんな場面は普通にあるだろ？
一体どこが「どんな話題で使っても何の問題もない」になるんだ？
現代人からみたらびっくりする表現かもしれないけど、別に破綻してるわけでもないし数学なんてこれくらい自由にやってええんやで
>>438 見てると積分論の話は無理そうなのが分かるよ。俺は同一視が可能な例として積分論を思いついた。平面における解析入門に必要な範囲の幾何学では四角形とその面積との同一視は出来ない。
>>441 積分論の話が無理そうってどういう意味？
わしゃ確率論で修士もらったから少しくらいならわかるぞ
>>442 杉浦解析入門をほじくるアスペと同じようなことを、ルベーグ積分の本でやってみろよ。相手する。
>>443 なにをやって欲しいのか分かるように書けよ
>>441 1つの実数に対応させる一例として面積を持ち出したまでの話であって、
他の対象でレスしても議論の構造は変わらない。
たとえば、「四角形の周長」という実数を用いて
「四角形の周長＝四角形」という同一視を持ち出してもいい。
大切なことは、そのような同一視に意味があるような場面を
見出すことではなくて、意味が「ない」場面を見出すこと。
どんな場面で意味がないかといえば、
・ 四角形を構成する4頂点と4辺の位置情報が、
その同一視によって潰れては困る場面
において、そのような同一視には意味がない。そういう場面では、
その同一視は使ってはいけない。全く同様に、「角＝角度」という同一視でも、
・ 角を構成する1つの頂点と2つの半直線の位置情報が、
その同一視によって潰れては困る場面
においては、この同一視は使ってはいけない。そして、そんな場面は普通にある。
それなのに君は、「角＝角度」については「どんな話題で使っても何の問題もない」と
言っている。そこがおかしいってこと。
>>446 意味が分からない。
>>441 は俺に向けたレスでないことは分かっているが、
＞見てると積分論の話は無理そうなのが分かるよ。
という書き込みを見て、俺がなぜ面積を持ち出したのか、その意図を説明したまでのこと。
つまり、構図としては君とID:c9Chbn2Mのやり取りに俺が割って入った形になっている。
それを君は、どうやら俺が自演していると勘違いしているようだが、アホである。
>>446 そして君は、
＞・ 角を構成する1つの頂点と2つの半直線の位置情報が、
＞ その同一視によって潰れては困る場面
＞
＞においては、この同一視は使ってはいけない。そして、そんな場面は普通にある。
＞それなのに君は、「角＝角度」については「どんな話題で使っても何の問題もない」と
＞言っている。そこがおかしいってこと。
この部分について何も反論できていない。
>>445 角=角度の同一視がおかしいならば反例を出すのが数学のまともな議論。
>>441 そもそもユークリッドの時代の幾何学では同一視しても何の問題もなかったわけなんだが、お前は今まで何を聞いていたんだ？
>>449 お前のは同一視してるんじゃなくて
角:=角度
という角の定義をしてるんだろ
定義から反例がでるわけないだろまじめにやれ
>>449 「角を構成する1つの頂点と2つの半直線の位置情報が、
その同一視によって潰れては困る場面」
において、「角＝角度」という同一視は使ってはいけない。それはちょうど、
「四角形を構成する4頂点と4辺の位置情報が、
その同一視によって潰れては困る場面」
において、「面積＝四角形」とか「四角形の周長＝四角形」といった
同一視を使ってはいけないのと全く同じ。
>>453 反例と思われる例を思いつくまで悔しくても黙っていたらいいんじゃないかw
>>454 「面積＝四角形」という同一視については、
こちらから具体例を出さなくても君自身が
「使えない場面がある」ことを既に認めているのに、
なぜか「角＝角度」については、君は頑なに具体例を欲しがる。
意味不明。
A ⊂ R^n を開集合とする。
>>456 四角形=面積
とは言えない場合もあるので
同一視から外れる例は要らない。
角=角度
とは言えるから
同一視から外れる例があるなら俺は求める。
まあ反例なんて
>>459 恣意的につけた頂点=角A, B, Cは区別する意味がなく、実際、お前が与えた情報から三角形は一意に定まらない。
>>458 ＞四角形=面積
＞とは言えない場合もあるので
＞同一視から外れる例は要らない。
君は「四角形＝面積とは言えない場合もある」と宣言しているが、
具体的にどのような場面がその宣言に該当するのか、
君はその具体例を挙げていない。君は、ただ単に
「四角形＝面積とは言えない場合もある」
としか宣言してない。それにも関わらず、君はその宣言を以って
・ ゆえに、同一視から外れる例は要らない。
と結論づけている。
ならば、君のその論法を拝借して、俺は次のように返答する。
>>461 具体例
面積=16の四角形は
例えば4×4の正方形と2×8の長方形かある。面積からは四角形が一意に定まらない。
>>462 予想通りの頭の悪さが露呈してきたな。いいぞ。
>>460 じゃあ1とωとω^2で位置を指定すれば満足か？
>>465 その場合は座標を与える事によって角度と辺の長さが決まる。当然角=角度が成り立つ。
正三角形ABCの角Aと角Bは角度が等しいので等しい、よって角Aの二等分線と角Bの二等分線は一致する。
>>463 具体例
xy平面上に1つの頂点があって、そこから2本の半直線が伸びていて、
その成す角の角度が90度である場合、そのような「1つの頂点・2本の半直線」は、
xy平面上で好きな位置に配置できるので、xy平面上における位置関係において
一意的に定まらない。つまり、この設定では、角度から角が一意に定まらない。
もしここで
「片方の対象に対してのみ平行移動とか回転操作とかを施して
位置を変えて重ねれば(同一視すれば)合同になるだろ」
と思うのであれば、4×4の正方形と2×8の長方形についても、
片方の四角形にのみスケール変換を施して辺の長さを変えて
重ねれば(同一視すれば)合同になる。もしここで、
「いやいや、スケール変換なんて持ち出すなよ。
そういう変換を想定してるわけじゃねえよ」
と思うのであれば、角についても全く同じように、
「平行移動とか回転操作といった変換を想定しているわけではない」。
>>467 角Aの二等分線と角Bの二等分線はそれぞれの角度を2等分しているので同じである。片方は角度を2等分していて他方はしていないということはあり得ない。
>>470 同じ直線なのに１点でしか交わらないのはなぜなの？
正三角形には角が1つしかないので、三角形ではなく一角形である。
>>469 合同変換=平行移動￮回転移動￮線対称移動(鏡映、折返し)は当然ここで扱う幾何学の範囲内。
四角形の辺の長さや角度を変える変換は範囲外(解析入門の著者の想定外)。これは俺の勝ちだなw
また自演認定されそうだから「横レスだよ」と予め言っておくけど、
>>471 R(θ+θ)=R(2θ)とか、同じ角度は何個あっても良い。
正三角形は同じ角度が3個ある三角形。角が一つでは三角形にならない。
>>472 ＞四角形の辺の長さや角度を変える変換は範囲外(解析入門の著者の想定外)。
面積の場合、君が持ち出した積分論に従えば、スケール変換は
積分論において基礎的な変換なので、「範囲外」どころか「範囲内」である。
「積分論の文脈ならそうだろうけど、幾何の文脈なら違うだろ」
と言いたいのであれば、それは結局「文脈を指定すれば何とでも言える」
ということなので、俺が
「平行移動とか回転操作といった変換を想定しているわけではない」(
>>469 )
と宣言した以上、この文脈のもとで
>>469 はちゃんと具体例として機能している。
丁寧に書くと二等分線っていうのは、角の関数なわけだから、等しい角に対しては同じ直線を与えないといけない
>>475 角度は60度の1つしかないだろ、それ以外の角度があるなら言ってみろよ
>>477 繰り返しになるが、もし文脈を指定しないのであれば、君の具体例だって
「積分論の文脈でスケール変換すれば同じ四角形だ」と言えてしまう。
それは君にとって困るので、文脈の指定は必須である。
そして、もし文脈を指定するのであれば、
>>476 に書いたとおりで、
俺が書いた具体例はちゃんと具体例として機能している。
つまり、具体例としては矛盾していない。
そして、そこに矛盾がない以上、君はこれ以上反論できない。
論外だって？それは単なる感想文だね。アホくさ。
・・・とまあ、せっかく
>>469 のような具体例を出したのではあるが、
>>467 の例に乗っかった方が健全な気はする。
この例を横レスで丁寧に解説した(つもり)のレスが
>>473 で、
本当は違う線であるはずのL1とL2が、角＝角度という流儀のもとでは
全く同じ線になってしまう。
それはおかしいでしょ、という話。
改めて「角=角度」で良いと確信した。
>>480 だから60度の角はどう数えても1つしかないし、それ以外の角はないだろ
一角形じゃん
>>483 ＞解析入門で想定されている状況
＞に関して俺は考えている。
まさしく、そのような設定のもとでの具体例がID:c9Chbn2Mによって
与えられているわけだ(
>>467 )。
俺の方からも
>>473 でコメントしている。
この
>>473 に対して反論コメントをどうぞ。
角＝角度という流儀のもとでは、本来異なる線であるはずのL1とL2が、
全く同じ線になってしまう。これはどういうこと？
>>486 解析入門においては
平面上に2つの角があってそれぞれの二等分線が交わるか交わらないか、同一か否かの議論はしていないということ。
>>487 ・ そのような議論に足を突っ込んだ場合、L1＝L2という矛盾が
実際に生じてしまうので、君にとっては都合が悪い。
・ だが幸運にも、解析入門ではそのような議論に一切触れていない。
・ ゆえにセーフである。
というのが君の理屈であると解釈していい？
一応言っておくけど、それって結局、
「君の言い分が矛盾しているのは既に確定しているが、
その矛盾について解析入門では触れられてない」
ってことに過ぎないよ？どこにもセーフの要素はないよ？
>>490 つまり、
>>473 の議論に足を突っ込んでみても、
L1＝L2という矛盾は生じないわけね？
なぜ？一体どこで L1≠L2 が保証されるの？
>>489 幸運なのではなく完全に正しい。
解析入門で想定されているのは1つの角に関して角度と呼ばれる実数が対応し、角=角度=回転量=円弧の同一視が可能であるということ。
>>492 ＞幸運なのではなく完全に正しい。
つまり、
>>473 の議論に足を突っ込んでみても、
L1＝L2という矛盾は生じないわけね？
なぜ？一体どこで L1≠L2 が保証されるの？
>>495 角Aを角Bに重ねる。その時二等分線も重なるということになる。これ以上の想定は無い。
>>496 読んだけどダメだったよ。
＞1つの角に関して角度と呼ばれる実数が対応し(
>>492 )
・ 確かに、1つの「角」には唯一の角度(実数)が対応する。
・ しかし、1つの角度(実数)に唯一の「角」が対応するわけではない。
異なる「角」なのに同一の角度を有する場合があるからだ(正三角形)。
・ そして、異なる角が同一の角度(実数)を有する場合、
角度のみから逆算してそれらの異なる角を識別することは不可能。
つまり、角＝角度という流儀のもとでは、
>>473 において角Aと角Bは全く同じ角という扱いになってしまう。
すると、なし崩し的に L1＝L2 まで到達してしまい、ここで矛盾となる。
ダメじゃん。
>>497 ＞角Aを角Bに重ねる。その時二等分線も重なるということになる。これ以上の想定は無い。
「角≠角度」という流儀のもとでは、そのような議論が可能。
ところが、「角＝角度」という流儀だと、
そもそも角Aと角Bが全く同じ角という扱いになるのだから、
「そのとき二等分線も重なる」
といったダブルスタンダードな議論は不可能で、
「L1とL2自体も同じ線である」
という扱いになる。ダメじゃん。
>>498 その想定は誤り。
誤りなので議論のしようが無い。
>>499 AとBの位置には無関係ということを説明したまで。
>>500 間違えているのは君の方である。君が言うところの
＞角Aを角Bに重ねる。その時二等分線も重なるということになる。これ以上の想定は無い。
といった議論は、「角≠角度」のときのみ行える議論である。
角≠角度ならば、異なる角がいくつあっても「別々の角である」と
識別できているのだから、それらの角を「重ねる」といった行為にも意味がある。
すると、異なる角から生じたL1とL2も「重なる」ことになり、
「重なりはするが、だからといってL1＝L2ではない」という議論が可能になる。
ところが、「角＝角度」の場合だと、そもそも正三角形ABCの
角Aと角Bに区別がないので、角Aと角Bを「重ねる」といった行為は
ナンセンスである。
いいか？角Aと角Bを「重ねる」ためには、まず角Aと角Bが
「別々の角である」と認識できていなければならない。
そうでなければ、そもそも「重ねる」という概念が意味を成さない。
しかし、角＝角度の場合では、角Aと角Bに区別がないので、
「重ねる」という概念が最初からナンセンスなんだよ。
君はこの時点で間違えているわけ。
ダメじゃん。
>>503 それもナンセンス。
頂点や角に区別がついた状態から出発して、そこに適切な
同値関係を入れるからこそ「位置ベクトル」が出現するのであって、
その場合には
「区別がついた複数の対象を重ねる(同じ同値類に属することを確認する)」
という操作が可能になる。ところが、一番最初の段階から「位置ベクトル」だけを
用いて全てを議論しようとすると、そこでは「重ねる」という操作が意味を成さない。
ダメじゃん。
>>505 もしかして同一視の意味が分かってないのか
>>504 ＞同値類について学べ。
この発言が全てを物語ってるよな。
「角≠角度」という流儀から出発した場合、正三角形ABCの角Aと角Bは別の角である。
これらの角に「角度が等しければ同値」という同値関係を入れて同値類を取れば、
角Aと角Bは同じ同値類に属することになる。これこそが「角Aと角Bを重ねる」
という操作の正体である。すると、そもそも角Aと角Bが違うのだから、
L1とL2も別物であり、角Aと角Bが同じ同値類に属するからといってL1＝L2だとは言えない。
このような議論は、「角≠角度」という流儀だからこそ意味を成す。
「角＝角度」という流儀から出発する場合、そもそも最初から「同値類」しか
存在しない状態である。その中の1つの同値類C に角Aと角Bが属していても、
・ 君は角Aと角BをCの中から取り出すことができない
のである。この時点で、君の論法は破綻する。
>>505 A=Bとか、角=角度の意味が分かってないな
「角≠角度」という流儀から出発する。異なる角全体の集合を M と置く。
>>508 AとBは違うものだが同じものと見做す
のではなくて
全く同じものである。
>>510 正三角形が、あれば
の話な。正三角形は無いのでナンセンス。
ダメじゃん
>>513 「角≠角度」なら正三角形は存在する。
従って、君が言うところの「正三角形は無い」という発言は、
「角＝角度」を念頭においた発言だと確定する。つまり、君は
・「角＝角度」という流儀のもとでは、正三角形は存在しない
と言っていることになる。
そうなのか。君の流儀のもとでは、正三角形は存在しないのか。
正三角形すら扱えない流儀を持ち出して、君は一体何がしたかったの？
>>515 ＞何度も書いた。
「解析入門の内容に限定するなら、それでいい」って話でしょ？つまり、
・ 解析入門に書かれている「角＝角度」の流儀では、
正三角形すら扱えなくなるが、私はそれでも構わない
ってことでしょ？なんだそりゃ。幾何学はどうなったの？君は
>>472 で
＞合同変換=平行移動￮回転移動￮線対称移動(鏡映、折返し)は当然ここで扱う幾何学の範囲内。
と書いてたよね？正三角形すら扱えないなら、
合同変換だの鏡映だの、それ以前の問題でしょ。
角度を求めるのにその角が作る図形は関係ない=存在しないということ。
>>516 そう。それ以前の問題。これも何度も書いた。
ダメじゃん
>>517 ＞角度を求めるのにその角が作る図形は関係ない=存在しないということ。
意味不明。図形に依存しないことと、図形が存在しないことは別物。
なぜか君は両者をイコールで結んでいる。というか、結局のところ
「存在しない」を標榜するのであれば、
・「角＝角度」という流儀においては、やっぱり正三角形は存在しない
と君は発言していることになる。何だそりゃ。ダメじゃん。
>>516 それ以前、に同意したのは
合同変換以前ということではなく、
一般の平面図形の合同を扱う以前で角度の合同のみ扱うのが解析入門の範囲という意味。
>>520 ・「角＝角度」という流儀においては正三角形は存在しないので、
この流儀では正三角形を扱えない
までは合ってる？そういうことでいい？
>>519 >意味不明
関係ないものを無視して切り捨てるのは不合理ではない。ここでは通常の平面における直線図形で辺の一部が欠けているようなものを想定すればよい。角は存在する。通常の辺は存在しない。
>>522 ＞角は存在する。通常の辺は存在しない。
通常の辺が存在しない時点で、正三角形は存在しないよね。つまり、
・「角＝角度」という流儀においては正三角形は存在しないので、
この流儀では正三角形を扱えない
という解釈で合ってる？
>>524 そうなのか。
きみ、最初と言ってること変わってないか？
・「角＝角度」という流儀は使う場面を選ばない。どこで使っても何も問題はない
と言ってなかったか？
実際には、この流儀を使うと正三角形すら扱えなくなるんだろう？
じゃあ、まさしく正三角形を扱いたい場面では、
この流儀は使えないことになるんだが、
「どこで使っても何も問題はない」とは一体なんだったんだ…
>>525 解析入門で扱う範囲においてはどこで使っても問題はない
という意味。
角度は定義出来ないが角は定義出来るという幾何もあるからな。
>>526 ＞解析入門で扱う範囲においてはどこで使っても問題はない
さすがにその言い分は苦しすぎるだろ・・・
まあいいや。
まとめ
というわけで、お疲れさん。
数学的に定義されていないものが同じかどうかって延々とやってるわけ？
角と角の大きさと（単位付きの）角度は
線分と線分の長さと（数直線で測った）線分の長さの値とが
角とかいいながら位置の違う角を同一視してるのは、角じゃなくて角の同値類だろ
ユークリッド原論を見たことないけど、そこでは面積を我々の知ってる「面積(実数)」のことではなく「いくつかの辺で囲まれた領域(集合)」の意味で使ってたりしないの？
そもそも角度はユークリッド幾何学の話で解析には出てこない
>>536 無いと三角関数も亟座標も使えなくない？どうすんの？
>>535 分からねぇのかよwww
馬鹿すぎるwww
数学は理想化されたもの、現実世界に実数はあるのか？ｗ
英語では角、角度はどちらもangleである
度：ものさし。長さの基準
>>540 役に立つかどうかは議論の俎上に載せてない
少なくとも解析の理論はユークリッド幾何学を必要としない、a fortioriに角度も必要としない
A ⊂ R^n を開集合とする。
>>394 今本見て確認したら「角」ではなく「～のなす角」の定義が書いてあってわろた
日本語では「～のなす角」ってのが角度のことなのは当たり前だろ
あと、解析入門では「角の大きさ」って表現があちこちにあったけどなんでやろな
>>548 何言ってるんだ
なす角は角度ではなく角だ。
>>549 君はそれらを区別しない設定じゃなかったの？
>>550 俺は( 限定された範囲内で)区別しない。何度も書いた。線型代数入門の著者も区別しない。
角と角度という単語があり、一般的には区別されて使われる「角」と「角度」を俺と線型代数入門は区別しない。ちなみに俺はここで線型代数入門とその著者を区別しない用法を使った。
お前は角と角度を区別, した上で、なす角を角ではなく角度であると記述した。これは誤用てある。なす角は角度ではなく角である。俺はそのように指摘した。
分かるか？
>>551 君がいつ区別してるのか考えるのめんどいから、毎回区別してるかしてないのか書いてくれよ
「なす角」の使用方ってほぼ間違いなく「なす角θ」だろ誰がどう見ても角度じゃん
>>552 駄目だ。噛み合わない。
なす角は「角」である。まずは日本語として理解しろ。
なす角θ=なす角の大きさθという用法
は「俺と同じ立場である」ということ。同一視。
>>552 ほぼ間違いなく～
というのは俺の立場(同一視)に対する「応援」になっているがいいのか？
>>553 で、このレスは区別してるほうなの？してないほうなの？
こっちには判断しようがないからはっきり書いてくれって言ったよね？
斎藤の(S,V)：n次元ユークリッド空間はV:n次元実計量空間とS：V上のベクトル全体だろ、何言ってんだ
>>555 俺は区別しないがお前は区別するべきだろうということ。
角と角度を区別する領域の大きさは
A(難癖付けてきたやつ
>>366 )
>B(俺)
A
A>C(線型代数入門)
となる。
AとBの争いだったはずがまさかのCの参戦で笑った。更にお前はCを「ほぼ間違いなく～」と証言した
というところ。
俺は線型代数入門の記述に同意。すなわち区別しない。
>>558 じゃあ
>>551 の角は全部角度のつもりで書いてあるってことでいいんだな
>>560 つまりこういうことか？
>お前は角度と角度を区別, した上で、なす角度を角度ではなく角度であると記述した。これは誤用てある。なす角度は角度ではなく角度である。俺はそのように指摘した。
>>561 違う。馬鹿だな。負けを認める一歩前か。
>>559 俺は線型代数入門の記述は○
お前は線型代数入門の記述は✕
だろうということ。
>>559 こいつ、途中で自分の矛盾に気づいたのかもな
>>562 何いってんだ
お前が
>>560 に書いたことを素直に適用しただけだぞ
>>565 面白く鳴ってきた。これはもう少しだな。
>>551 は
>>563 というように読める。
>>561 のようには読めない。
勝負あったな。
>>565 自分で穴掘って俺を落とそうとしても無理w
楽しくなってきたぞ
なんか支離滅裂なこと言い出した
>>569 線型代数入門ではなす角の大きさのことをなす角と呼んでいる。
覚えておけw
>>569 支離滅裂って言葉を使う支離滅裂な奴がお前だ
面白い
こいつは「落とし穴を掘る」論法が有効だと思ってるのか？
>>394 こいつは数学的な定義と言葉の定義と思い込んでるアホ
A ⊂ R^n を開集合とする。
>>576 いや。
ここで数学的な概念である角度のことを数学的な概念である角と著者が呼んでいるのは、数学用語として角と角度をここでは同一視しているということである。
>>576 似たような頭の悪い奴が入れ替わり出てくるのは面白い。
穴の底から声が聞こえる「お前は角度と角度を区別, した上で、なす角度を角度ではなく角度であると記述した。これは誤用てある。なす角度は角度ではなく角度である。俺はそのように指摘した。」
概念が混用されるのは別に問題じゃない
>>591 それはほとんど証明したいことそのままじゃ
これホモロジーなしで地道にやればできる問題なんか？
>>594 いや同相を示すのがややこしいと思うんだけど、なんか簡単にできるんか？
>>595 やっぱりネタ臭い、開写像である条件が必要
杉浦光夫さんの『解析入門1』のp.139定理6.10に似た以下の事実を証明してください：
>>600 訂正します：
さい：
A ⊂ R^n を開集合とする。
f : A → R^n を単射かつ C^r 級とする。
行列 Df(x) は A 上で正則であるとする。
このとき、 f(A) ⊂ R^n は開集合であり、逆関数 g : f(A) → A は C^r 級である。
>>601 訂正します：
杉浦光夫さんの『解析入門1』のp.139定理6.10に似た以下の事実を証明してください：
A ⊂ R^n を開集合とする。
f : A → R^n を単射かつ C^r 級とする。
行列 Df(x) は A 上で正則であるとする。
このとき、 f(A) ⊂ R^n は開集合であり、逆関数 g : f(A) → A は C^r 級である。
杉浦光夫さんの『解析入門1』のp.139定理6.10は以下ですね。
>>602 は、James R. Munkresさんの『Analysis on Manifolds』の定理8.2です。
Dg(x) = Df(x)^{-1} であることはそれよりもずっと前に証明済みです。
訂正します：
断然、James R. Munkresさんの定理8.2のほうが良い定理ですよね。
A ⊂ R^n を開集合とする。
>>607 訂正します：
A ⊂ R^n を開集合とする。
f : A → R^n を単射かつ連続とする。
このとき、 f(A) ⊂ R^n は開集合であることを示せ。
↑これはJames R. Munkresさんの本の定理8.2の証明中にある注意書きに書かれている定理です。
「
If A is open in R^n and f : A → R^n is continuous and one-to-one, then it is true that f(A) is open in R^n and the inverse function g is continuous. This result is known as the Brouwer theorem on invariance of domain. Its proof requires the tools of algebraic topology and is quite difficult. We have proved the differentiable version of this theorem.
」
Michael Spivakさんの『Calculus on Manifolds』も最高です。
>>608 のような素朴な、しかし証明の難しい定理があるんですね。
代数的トポロジーに興味が湧きました。
実は、Amazon.co.jpで新品のJames R. Munkres著『Elements of Algebraic Topology』を4000円くらいで購入済みです。
なんだよ大学の課題とかじゃなかったのかよ
レヴィの確率面積で曲率を測り取るネタ進行はもうやめちゃったの？
>>618 同相のとこにはホモロジーいらんかったわ
残りはホモロジーで証明するってタオも書いてるやん
Michael Spivakさんの『Calculus on Manifolds』ですが、この本を他書を参照せずに読破することって不可能に近くないですか？
James R. Munkresさんの『Analysis on Manifolds』では、あらかじめ定理として証明しています：
Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』
馬鹿スぺ一号の微積分で10年<---今ここ
まだこんなクソレベルの言いがかり
馬鹿アスペはMunkresと杉浦小平などを見比べてクソレベルの言いがかり
実際、2-11 によると、任意の x ∈ A に対して、R^n の開部分集合 U(x)と V(x) が存在して、x ∈ U(x)、かつ g の制限 g_x : U(x) → V(x) が定義されてC^1 級同型となります。(g_x の逆写像が C^1 級だから)
馬鹿スぺ一号はこういうことは分からないｗ
でもね、それ、その本の問題 1-14 にも、演習問題として掲載されているんですよ。
それが10年間微積分やってる理由だと思うよ、微積分から抜け出せない、能力の限界ｗ
数学を理解する気はないみたい、ただ微積分に拘りがあるんだろｗ
Aさんの家では，毎日500円硬こう貨かか100円硬貨のどちらか1枚を貯金箱に入れています。
>>630 それは
>>623 を書いた後に、偶然、松坂和夫著解析入門シリーズの逆関数定理のところを見ていたときに、逆関数定理の系として書いてあったので、気づいていました。
逆関数定理を使わないと証明は結構大変ですよね。
James R. Munkresさんの本では、逆関数定理を証明するために、
A ⊂ R^n を開集合とする。
f : A → R^n を単射かつ C^r 級とする。
行列 Df(x) は A 上で正則であるとする。
このとき、 f(A) ⊂ R^n は開集合であり、逆関数 g : f(A) → A は C^r 級である。
という定理を証明しています。
3-13 Theorem
>>642 訂正します：
Let A ⊂ R^n be an open set and g : A → R^n a continuously differentiable function such that det g'(x) ≠ 0 for all x ∈ A.
b ∈ g(A) とする。
g(a) = b となる a ∈ A が存在する。
det g'(a) ≠ 0 だから逆関数定理により、 a を含む開集合 U ⊂ A と b を含む開集合 V ⊂ R^n で、以下の条件をみたすものが存在する。
g(U) = V
g の定義域を A から U へ、 g の終域を R^n から V へ変更した写像 f は U から V への全単射である。
f および f^{-1} は C^1 級である。
V = (f^{-1})^{-1}(U) は f^{-1} が連続であるから開集合である。
b ∈ V ⊂ g(A) であるから、 g(A) は開集合である。
あ、今、『Caluculus on Manifolds』を見ていたら、
>>644 は逆関数定理のセクションの演習問題です。
微分のところの問題はサボってやっていなかったので気づきませんでした。
>>644 訂正します：
あ、今、『Calculus on Manifolds』を見ていたら、
Problem 2-36
Let A ⊂ R^n be an open set and f : A → R^n a continuously differentiable 1-1 function such that det f'(x) ≠ 0 for all x.
Show that f(A) is an open set and f^{-1} : f(A) → A is differentiable.
Show also that f(B) is open for any open set B ⊂ A.
という問題がありました。
こうしてみると、『Calculus on Manifolds』の演習問題っていい問題が多いですね。
>>643 下から2行目の部分:
>V = (f^{-1})^{-1}(U) は f^{-1} が連続であるから開集合である。
ですが、この論証は必要ありません。
なぜなら、V が開集合であることは既に、逆関数定理そのものから保証されているからです。
また、f : U → V が位相同型であり、f^{-1} が連続であっても、その条件だけから直ちに導かれることは、V = (f^{-1})^{-1}(U) が『Vの』開集合であるという、自明なことのみです。これだけからは、V が『R^n の』開集合であることは、直ちにはわかりません。この点は細かい点ですが、論証には気をつけるべきところです。
>>647 Spivak さんの演習問題は質の良いものが多いですね。
continuously differentiable function
>>649 >g の定義域を A から U へ、 g の終域を R^n から V へ変更した写像 f は
>U から V への全単射である。
>f および f^{-1} は C^1 級である。
と言っている時点で、通常は U , V が R^n の開集合であるという条件が仮定されています。
実際、g が C^1 級で至る所 det(g'(x)) ≠ 0 だから、それは逆関数定理から保証されます。
だから、
V = (f^{-1})^{-1}(U) は f^{-1} が連続であるから開集合である。
という部分は必要ないことはわかりますよね。
また、f ^{-1}: V → U が連続だから、V = f^{-1})^{-1}(U) が R^n の開集合になるという部分は、
論証としておかしいですよ。
これは一般に、位相空間 X と X の開集合 U, X の部分集合 B が与えられて、U と B に
X からの相対位相を与え、位相同型 f : U → B が存在する時、
B は X の開集合になるか？という問題になりますが、これは否定的です。
実際、X = (S^1 × {0}) ∪ (S^2 × {1}) に、自然な inclusion
i : S^1 → X, j : S^2 → X を連続にする最も細かい位相を与え、
S^2 の部分集合 S^1 の j による像 を V 、i(S^1) = U とすれば、
U と V は同相で U は X の開集合ですが、V は X の開集合ではありません。
位相空間 X と X の開集合 U, X の部分集合 B が与えられて、U と B に
>>607 >A ⊂ R^n を開集合とする。
>f : A → R^n を単射かつ連続とする。
>このとき、 f(A) ⊂ R^n は開集合であることを示せ。
fが連続だから
a∈Aについて
f*:monad(a)→monad(f(a))
が定義できて
fが1-1ontoだから
f*も1-1ontoじゃないの？
とすると
f^-1*=f*^-1:monad(f(a))→monad(a)
が定義できてf^-1も連続とかじゃだめかな
>>651 >位相空間 X と X の開集合 U, X の部分集合 B が与えられて、U と B に
>X からの相対位相を与え、位相同型 f : U → B が存在する時、
>B は X の開集合になるか？
同じXでなくてU:open⊂XとB⊂Yとでf:U→Bが同相でもBがYのopenであるわけ絶対ないからXとYあわせて考えたら
一般に成り立たないのは理の当然
例は正方形に髭つけて髭から正方形の辺への同相写像
>>653 だかこそ、
『f ^{-1}: V → U が連続だから、V = f^{-1})^{-1}(U) が R^n の開集合になる』
という論証はおかしいじゃないですかという話をしています。
まだわかってない
線型ベクトル空間Xがハウスドルフになる必要十分条件は{0}が閉集合になることである。
訂正
>fが単なる連続写像でしかない場合でも
あと, N が C^1 級多様体で、C^1 級以上の細かい構造を考えないならば、
>>658 fをC^1級かもっとかのgで近似していくらでも近寄せられるとかでは？
>>660 簡単のために、C^0 級 Whitney 位相に関して f に収束する,
M から N への C^1 級の関数列 (g_n) が取れたとして、
g_n^*ω の極限 λ 存在して、尚且つその極限が列 (g_n) の取り方によらないならば、
その λ を f^*ω と定義するというのは自然に考えられます。
しかし、g_n^*ω の定義では、g_n の接線型写像が関わっているから、
それが n→∞ の時の g_n^*ω の振る舞いにどう影響するかが問題です。
実は私も以前、この考え方で f が連続であるとのみ仮定して、
f^*ω を定義しようとして、うまくいかなかったことがあります。
だから、改めて、疑問を呈しました。
>>457 やっぱり釣りであった。馬鹿スぺ二号のおっさんｗｗｗ
ごめん
>>667 ご説明ありがとうございます。肝心のミソのところなんですが、オイラー類との関連性がわかりませんでした。
私は代数トポロジーが専門だったのですが、その前には微分形式の積分の理論（はっきり言えばストークスの定理の定式化が目的）を勉強したことがあります。が、これは、解析学からのアプローチでした。
多様体上の積分の変数変換の公式は、ざっくり、次のような定式化でした：
M, N は向きづけ可能な C^1 級 n 次元実多様体とし、f: M → N は C^1 級写像, ω は N 上の連続 n次微分形式とします。さらに, N から Z∪{+∞} への写像 ξ を, ξ(y) = card(f^{-1}({y})) (if it is finite), ξ(y) = +∞ で定義します。
すると、ω は N 上の Radon 測度 [ω] を定め、λ = f^*ω は N 上の Radon 測度 [λ] を定め、ξ は [ω] 可測であり, 一定の条件のもとで, Radon 測度として
f([λ]) = ξ・[ω]
が成り立つ、というものです。このとき, N 上の実数値関数 g に対し,
ξ・g が [ω] 可積分なることと g \circ f が [λ] 可積分なることは同値で,
さらに,
∫_N ξ・g d[ω] = ∫_M g \circ f d[λ]
が成り立ちます.
これは
>>655 の定式化 と似た感じがしますので, 異なるアプローチであってもゴールは同じなのかもしれませんね.
>>667 >“積分領域”
向きもつけたり重なりあったりしてもいいよな
一番一般的にはどう定義したらいいの？
>>657 定理
位相ベクトル空間Xにおいて互いに交わらないコンパクト集合Kと閉集合Cに対し、0の近傍Vで(K+V)∩(C+V)=Φとなるものが存在。
これから位相ベクトル空間はハウスドルフである。
Calculus on Manifolds problem 2-36は逆関数定理使ってるだけだろ
>>671 いいえ、ハーツホーンは読んだことないです。
同相写像φ: U→V
二つのバナッハ空間の和もバナッハ空間になりますか？
バナッハ空間の積と商がバナッハ空間になることは分かりました
二つのバナッハ空間 X, Y に対して、それらの加群としての直和 X ⊕ Y には自然に位相線型空間の構造が入るが、標準的なノルムは存在しない。それでもこれをバナッハ空間とするようないくつか同値なノルムが存在し、その一つとして....
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%E7%A9%BA%E9%96%93 >>687 じゃ和ってなに？まさか集合としての直和じゃないよね？
>>685 何それ？線型空間としての和空間？
ノルム忘れてるでしょそれじゃ
>>686 なんか変、同値→非同値では
あと英語版との格差すごいな
>>689 書いといたろ、アホか
>線形空間
>ノルム空間
>完備性
>>690 二つのノルムのsupだろ、イキル兄さん
wikipediaの(特に学部以降の)数学の記事は大体
>>692 イキルってw
当たり前のことなんだけど？
ノルムは考えないってことならご随意に
ノルム入れ直したら元の二つは
一般に部分バナッハ空間にならんけど
>>691 >英語版との格差
これに限らず日本語のページは充実してない
>>699 ついでに聞くが、解析で圏論使うメリットは何があるの？
>>697 質問をを理解する気がないことは分かった、さようなら
20年前のwikipediaは本当にひどいレベルで嘘だらけだった
そもそものレスの文章
>>701 カテゴリーで無くても
ノルム入れ替えたら
そりゃ部分バナッハ空間じゃ無いんだからさ
ガンバってねとしか
ちなみに
バナッハ空間の和空間を
ものとしては線形空間の和空間と考えるのであれば
もともと全体集合に当たるバナッハ空間の
部分バナッハ空間２つで
同じノルムが制限されたもの同士の和空間で考えるのが普通
\| x \| := inf { \| x_1 \|_{X_1} + \| x_2 \|_{X_2}} | x_1 + x_2 = x }
GL(n; ℂ)とSL(n; ℂ)の関係は
CategoricalなUniversalityがいらないなら (V₁,||₁)、(V₂,||₂)をバナッは空間としてV=V₁⊕V₂上のNorm||を
ベクトル空間の圏では有限直和と有限直積は同型
というか普通にnormを保つ写像を射とする圏と考えれば
>>715 の例はどちらかといえば直和に近い、なぜなら自然な埋入V_i→V₁⊕V₂はノルムが保たれるが自然な射影V₁⊕V₂→V_iの方はノルムを保っていない
もちろんユニバーサリティを満たしてないので直和ですらないけど
普通に積を共通部分で割ればバナッハ空間ができる。但し、積は唯一ではない。
ℂの自然な実座標、標準的複素構造
O(n)、U(n)、Sp(n)
そいつは連投荒らし
>>675 ,711,722,723
単位球体D^nからD^nへの同相写像は、かならず境界を境界へ写しますか？
x∈D^n において
>>728 f: D^n → D^nを同相写像とする
もしD^nの境界上の点xが内部に写ったとする
fは同相写像なので
H_{n-1}(D^n＼{x}, Z) ～ H_{n-1}(D^n＼{f(x)}, Z)
だが、左は0、右はZなので矛盾
f: D^n → D^nを同相写像とする
境界の点かどうかってホモロジー以外で判断する方法知らないや
R^nの部分集合Mの境界とはR^n-(Mの内部∪Mの外部)
X={p,q,r}、opens={Φ,{p},{q,r},X}、A={p,q}
LaTeXのリンクの付け方について教えてください
例えばTheorem 1をamsthnパッケージを使って書いたあとに、Theorem 1から〜のところでリンクを貼りたいです
X={p,q,r}、opens={Φ,{p},{q,r},X}、A={p,q}
>>736 >Aの内部={p}、X＼Aの内部={r}、Aの境界={q}
X\A={r}で{r}はXのopenじゃないが？
Xが境界付き多様体であるときXの点pにおいて
>>742 そんなスレがあったんですね、ありがとうございます
>>743 おっさんすごいなアスペとコミュニケーションできるんだ
X: 局所コンパクトハウスドルフ空間
>>752 命題7.5
ラドン測度はσ-有限集合上内部正則である。
Real Analysis(G.B. Holland) p.216
>>752 ほぼ同じ
https://www.math.stonybrook.edu/ ~bishop/classes/math533.S21/Notes/chap7notes.pdf
1/√(1-x^2)の[0, 1]上の広義積分が収束することを証明したいんですが、どうすればいいですか？
∫(0,1-ε)1/√(1+x)(1-x)を計算してε->+0が存在することを示す
∫(0,1)1/√(1-x)の方が大きいのでこれが収束することを示せばよい
乗法群C^×を、|z| ≠ 1であるz∈C^×で生成された無限巡回群<z>で割った位相群C^×/<z>はどのような群になりますか？
連結コンパクト複素リー群なので、複素トーラスになる
Q_pの有限次拡大Kについては
せやな
z=rexp(iθ）として、r>1、r<1とθが2πの有理数、無理数の4通りを考えればいいわけだ
単位円周と半径|z|の円周で囲まれるアニュラスを境界部分でarg zだけひねって貼り合わせるから、
>>762 の言う通りトーラスになる。
積構造も含めてトーラスであることはlogを取ると納得しやすいかも。
位相空間X、Xの被覆、局所有限、細分、任意の開被覆が有限の細分を持つ、Compact。
3歳児にとって、一年は人生の三分の一
abs:C^x→R^+
abs(z)=1
θが2πの有理数倍のときは
θが2πの無理数倍のときは
>>775 素朴に全射か？埋め込みのような気がするが
>>778 >R/(θZ+2πZ)
=Q/Z+Q/Z+ΣQ
マイケル・スピヴァックの『Calculus on Manifolds』ですが、ベクトル空間の向きというのが登場しました。
定理4-6
それまでに証明した命題を使わないと損だというケチな考え方があるように思われます。
マイケル・スピヴァックの『Calculus on Manifolds』
なんかちょっと抽象的な議論をして、ややこしくて記述するのが面倒な組合せ論的な議論をシンプルにしているだけという印象です。
杉浦光夫著『解析入門II』に、「足立恒夫」と書かれているのは、「足立恒雄」さんのことですよね。
0003１３２人目の素数さん
2017/05/11(木) 09:49:41.52ID:04yDQlnq
スピヴァックの『多変数解析学』を読んでいます。
↓交代テンソルについてですが、
↑の赤い線を引いたところを見てください。
結果としては正しいですが、おかしいですよね。
↑こう書くべきですよね。
一般的方法で示しておくと他でも使えるから
>>786 というか直ぐそれ思いつかない方が問題では？
毎回一から作るのは面倒
[X, Y]=XY-YX、括弧積
代数的整数論では、アデール環（Q_p, Rの制限直積）にQを対角に埋め込む、ということをやるけど、負の数はどうやって埋め込むの？
>>800 それが分かってたら
単に対角に入れるだけでしょ
何が疑問なんだろ？
統計学についての質問です
自分なら、XとYをrとθの式で書いて
ベクトル解析です
この問題の面A1A2A3の面積分が分かりません
計算過程を詳しく教えてください、よろしくお願いします
>>804 P(Z<z)=∫[Z<z]f(Z)dZ
P(X^2+Y^2<z)=∬[X^2+Y^2<z]g(X,Y)dXdY
=∬[R^2<z]g(RcosΘ,RsinΘ)RdRdΘ
=∬[R^2<z]Re^-R^2/2/2πdRdΘ
=∫[R^2<z]e^-R^2/2d(R^2/2)
=[-e^-R^2/2][R^2<z]
=1-e^-z/2(z>0),0(z<0)
f(z)=e^-z/2/2(z>0),0(z<0)
P(W<w)=∫[W<w]h(W)dW
P(X^2/(X^2+Y^2)<w)=∬[X^2/(X^2+Y^2)<w]g(X,Y)dXdY
=∬[cos^2Θ<w]g(RcosΘ,RsinΘ)RdRdΘ
=∬[cos^2Θ<w]Re^-R^2/2/2πdRdΘ
=∬[cos^2Θ<w]e^-R^2/2/2πd(R^2/2)dΘ
=∫[cos^2Θ<w][-e^-R^2/2][R>0]dΘ
=∫[cos^2Θ<w]dΘ
＝[Θ][cos^2Θ<w]
=2π-4acos√w(0<w<1),0(w<0),2π(w>1)
h(w)=2/√w(1-w),(0<w<1),0(w<0,>1)
>>808 >=∫[cos^2Θ<w][-e^-R^2/2][R>0]dΘ
/2π
>=2π-4acos√w(0<w<1),0(w<0),2π(w>1)
1-2acos√w/π(0<w<1),0(w<0),1(w>1)
>h(w)=2/√w(1-w),(0<w<1),0(w<0,>1)
1/π√w(1-w)(0<w<1),0(w<0,>1)
>>807 IS=∬[△A1A2A3]aTBx/|a|dS
dS=△A1A2A3/△OA1A2dx1dx2
=|a|A3dx1dx2
=a3/|a|dx1dx2
IS=∬[△OA1A2]aTBxa3/|a|^2dx1dx2
=you can do it
>>805 なるほど
たしかに応用を考えるなら同時分布から計算したほうがいいですね
>>808 詳しくありがとうございます！
Google DeepMindが、国際数学オリンピックレベルの複雑な幾何学問題を解決できるAI「AlphaGeometry」を
発表しました。AlphaGeometryは、実際に国際数学オリンピックで出題された幾何学問題30問を
制限時間以内に25問解いたとのことです。
Solving olympiad geometry without human demonstrations
| Nature
https://www.nature.com/articles/s41586-023-06747-5 定理の文章で
必要条件と十分条件が異なるというだけみたい、すまん、解決
AならばB。逆にB+αならばA。
>>816 (B∧α)⊆A⊆B
上下から挟み込んでいるということなんだが、呼び名は…知らないなw
5以上の、
『5以上の、
素数(prime number)なので、
>>823 > ID:UpOUKRWm
m=3,n=1のときは？
>>820 「αならば逆も成り立つ」という言い方はよく見るかも
m=1,n=1 のとき、p=5
∫[0≦z≦a] 1/√(z(1-z)) dz
>>830 それはベータ関数だからアンチョコを見たほうがいい気がする
>>831 積分区間が[0, 1]ならベータ関数なんですけど今回は[0, a]なので違う答えになりませんか？
>>834 不完全ベータ関数やな
1/2のときは↑の人の計算であってるかも(計算してない)
著者：足助太郎
>>836 tで置換してみたら4arcsin√aになったんですけどこれ合ってるんですかね…？
ていうか積分結果があってるかどうかは微分して確認よ
x-x^2=1/4-(x-1/2)^2
>>841 理解できましたありがとうございます！
考えてくださった方々ありがとうございました！
>>841 訂正
x-1/2=1/2cos(t)
不定積分: -t
Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』
>>844 線型写像の概念及びその表現を理解していれば
Hom(V,W)をその基底で理解できるでしょ
なんでもかでもいちいち1＋1からやり直さないてだけよ
あ、Spivakさんが ω について、どんな式で書けるかちゃんと書いてあるのを忘れていました。
>>848 あ、やっぱり書いていませんでした。
書いているのは、 Λ^n(V), dim V = n の場合だけでした。
単位円の面積を求める積分
今、田代嘉宏著『テンソル解析』をパラパラと見てみました。
田代さんの本みたいな分かりにくい本でまず苦しめられてから、Michael Spivakさんの本の説明を読むとありがたみが湧きますね。
>>851 >∫_{-1}^1 √(1-x^2)dx=∫_0^1 1/√(1-x^2)dx
>この等式を変数変換で直接導出できますか？
2∫_0^1 √(1-x^2)dx=∫_0^1 1/√(1-t^2)dt
2√(1-x^2)dx=1/√(1-t^2)dt
dt/dx=2√(1-x^2)√(1-t^2)
x√(1-x^2)+asinx=asint
t=sin(x√(1-x^2)+asinx)
=sinx√(1-x^2)cosasinx+cosx√(1-x^2)sinasinx
=√(1-x^2)sinx√(1-x^2)+xcosx√(1-x^2)
工学部出てる素人だけど質問
>>856 総和の揺らぎは√N
したがって平均は1/√N→0
となります
>>856 B={1,-1}
Ω=B^N
Σ:Ω→{∞,-∞,Indefinite}:(bn)=limΣbn
>>858 >総和の揺らぎは√N
1-1+1-1+…=?
N個の和: (1/2*1-1/2*1)+・・・+(1/2*1-1/2*1)=0
ルベーグ積分を使った確率論は普通の公理的確率論でマジックではない、当たり前の結果が出てくるだけ
>>851 ふと思ったんだが、これって部分積分なら簡単に変換できないんかな？
>>851 このスレで以前話題になってたけどπと三角関数の性質は切っても切れない
>>861 E(limΣbn)=limE(Σbn)=limΣE(bn)？
>>866 何が疑問なんだ、積分ととlimを聞いてるのか？bnとはなんだ？
>>868 limが存在しないのにEを考えているからだよ
Eが存在しそのlimが存在しても意味はない
>>869 古典的確率論は有限事象しか考えられない。無限事象を考えたければ公理的確率論で考える必要がある。
そういう話だが
>>856 >この時無限回投げ終わった後の総和は0になってるような気がするんだけど
成らない
通常の意味での総和は{∞,-∞,indefinite}のどれか
>>870 ここで考えねばならない事象は
Ω=B^N
想定している総和はlimΣbn
それ以外の解釈は付会
>>872 そうだね、期待値を計算してモータ、てへ
>>867 2∫√(1-x^2)dx=∫√(1-x^2)dx + x√(1-x^2) - ∫-x^2/√(1-x^2)dx
=x√(1-x^2) + ∫1/√(1-x^2)dx
やってみたら、単にやるだけだったわ
>>872 b(n)=Σ(i=1,n)X(i)、X(i)はコインが表なら1、裏なら-1の確率変数
確率空間(X、B、P)、X={表、裏}^N
物理屋はa(n)が計算出来てればa(n)の極限があると思い込んでいる。これマメな。
>>851 結局
2∫√(1-x^2)dx = ∫√(1-x^2)dx + ∫√(1-x^2)dx
にして右側だけ、x = √(1-t^2)で変換したらいいだけだったわ
物理屋の爺さんの揺らぎが何を意味するのかは不明だが
円周は微小角θの扇形の弧θを足したもの、円の面積のその扇形の面積1/2θを足したもの
グランディ級数というネタらしいが、揺らぎは何処へ行った
>>875 >>879 すご〜い
こういうのが知りたかったのです
確率論の質問です
>>888 an=(-1)^nもmeasure0ですね
無視しましょう
measure0でない数列の全体を一つ決めてXとしましょう
>>889 なるほど級数展開してみます
ありがとうございます！
>>892 問題が中心極限定理を使わずに特性関数の収束を確認するものなんです
後出しになってしまってすみません
>>893 だから中心極限定理と同じ方法で示せばってことでは？
>>893 特性関数の収束を証明するのが簡単なので本質的に同じことをやってる
>>893 確率論（舟木）定理5.24（中心極限定理）
log(規格化した確率変数の分布関数)のテーラー展開の第二項まで計算してガウス分布への収束を示している
落合卓四郎著『微分幾何入門上』
>>897 訂正します：
落合卓四郎著『微分幾何入門上』
「
数学のように複雑な数式を多く使う分野での論文、書籍の出版は早晩コンピュータを使ったいわゆるディスクトップ・パブリシングに頼らざるをえないと思われる。
」
「ディスクトップ」って何ですか？
>>893 補足
分布の弱収束と特性関数の各点収束は同等
非負実数全体の集合をℝ+としたとき,
>>900 分からない理由が分からないが、背理法で言えることを示せばいいんじゃないか？
>>900 杉浦Ⅰ
定理2.6
収束点列a(n)、b(n)がa(n)<=b(n)を満たすならば、それらの極限はa<=bを満たす
証明はa>bとして矛盾をしめす。
証明3
[0,∞)=R-(-∞,0)は開集合。よってR+点列の極限はR+に属する。
>>903 >杉浦Ⅰ
>定理2.6
>証明3
変な引用だなあ
まあいいけど
>>900 x_n≧0、a<0のとき|x_n-a|>|a|より{x_n}はaに収束しない
非不関数の列fnがfにL2弱収束するとき
>>904 証明1
x=liminfx(n)>=0、liminfの定義より
証明2（引用はこれだけ）
杉浦Ⅰ定理2.6
収束点列a(n)、b(n)がa(n)<=b(n)を満たすならば、それらの極限はa<=bを満たす
証明3
R+は閉集合なので点列の極限もにもR+属する
>>907 タイトルいらないんじゃね？ってことだったけど
まあいいやどうでも
>>906 fと1の近似列の畳み込みをしておいて、
定理
fを有界連続関数としたとき、任意のg非負急減少関数に対して∫f(x)g(x)dx>=0ならばf(x)>=0。
を使う
>>906 特性関数(定義関数の方ね)との内積を考えたら自明。
900と906には定義に戻って考えることをしない怠け者精神を感じる
よく定理の仮定で「Dを面積確定な有界閉集合とする」とあるのですが、
>>913 そうだったんですね。。
証明のやり方など教えていただけないでしょうか。
ある質問者の回答
>>912 >>913 すみません。調べてたら自己完結しました。
スミス–ヴォルテラ–カントール集合（太ったカントール集合）というのが
面積確定ではない有界閉集合でした。
有界閉なら面積確定」ならわざわざ定理の仮定にそういうふうに書かないですよね。。
ジャルダン可測では無い集合の例、ファットカントール集合、ハルナック集合
>>917 ありがとうございます。ハルナック集合というものもあったんですね。
参考になりました
杉浦Ⅰには領域の場合、境界が区分的にC1級なら面積確定、単にC0級なら面積確定でないことがある、と書いてある。
お前らってテキストの証明を自分の言葉で纏め直す時、原文の各種記号 -例えば、関数h- を自分の言葉、 -例えば関数f- に書き改める？
ゼミで発表するときに理解度がはっきりするから良い習慣だと思う
>>916 区間をとり、稠密な可算集合(番号をふっておく)と、和が区間の長さ未満になる正数列を用意し、n番目の点を中心とし長さが数列のn番目となる区間を取り除く、これを繰り返せばよい。
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
If S is rectifiable, so is the set A = Int S, and v(S) = v(A).
EXAMPLE1. We construct a bounded open set A in R such that Bd A does not have measure zero.
The class of rectifiable sets in R^n is not easy to describe other than by the condition stated in Theorem 14.1. It is tempting to think, for instance, that any bounded open set in R^n, or any bounded closed set in R^n, should be rectifiable. That is not the case, as the following example shows:
A をEXAMPLE1の A とする。
俺は証明のストーリーを分かりやすくするようにしてる。存在、一意性、背理法等。
>>921 電流の動く向きを電子の動く方向か空孔の動く方向かどっちにするか。
電流の意味で使われてるiを回避してjで複素数を表す物理学工学の流儀の連中にj不変量のお話をするような。
>>929 電電公社がNTTになるときに楕円曲線っぽいロゴのトレードマーク採用させるか。
環を局所化してから剰余環をとるのと、剰余環をとってから局所化するのは同じですか
より一般に、テンソル積が順番によらず同型であることから分かるのか
>>939 こういう答えが簡潔で一番いい
問題を出し続けてる奴の1つのネタ元かも知れないし面白い
>>937 局所化、剰余環をとる、多項式環をとる、完備化、……全部可換なのか
>>937 それだけでいいかな？
何を何にテンサーしてんの？
>>940 >>946 IDのあるスレでこれは恥ずかしい
0->I->R->R/I->0 is R-module exact
ではingextive moduleではネータか？選択項目を使うかもです
Qが入射加群なら
そんなわけないよね
こいつ別スレで有名大学を卒業した超有能SEだそうだが
>>955 もしかしてNからQへの全射があると思っている？
955における
位相数学入門 (基礎数学シリーズ) 単行本 – 2005/2/1
[0, 1]の任意の実数を一つ選ぶと無理数である確率は本当に1なの？
任意に選べるので、 0 を選ｂﾑます。
>>970 単関数の和の極限は必ず可測なところじゃないかな？
良く居るよな
任意に選ぶっていうのはゲームセマンティクスで言うところの対戦相手が選ぶって意味だぞ
噴飯
こいつは、任意のxについてx≧0を示せとか書いてあったら、xを出題者が選ぶとかバカなことを言い出しそう
分からんじゃなくて述語論理の意味論に興味ないだけだろ
誰が読んでも曖昧さがなくなるように工夫して自然言語で記述できるように研鑽するのも数学じゃないかね
>>989 君が書いたのか知らんが
>>985 の意味がわからんのたが数式だけ書くなって習わなかったのか？式だけ書くのではなくて文章を添えるのは数学の常識だよね
>>990 解説しよう
一点のルベーグ測度は0である
>>991 そこまではまあよいとして
それって今の話にどう関係があるのだろうか？
ネタにマジレスしてみただけ
>>993 どうマジレスなのかよくわからんのだが…
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